Resolver as equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada usando a equação característica.
- Obter uma solução particular da não homogênea pelo método dos coeficientes a determinar.
- Somar as duas para ter a solução geral do problema.
Passo 2
Vamos achar primeiro a solução da parte homogênea
A equação característica é
que fatoriza como
Temos raiz dupla
. Logo a solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação não homogênea
Como o termo do lado direito é
e
é raiz dupla da característica, usamos o ansatz
multiplicando por
por conta da multiplicidade 2 da raiz
.
Passo 4
Calculamos derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Queremos isso igual a
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da complementar com a particular: