Resolver as equações diferenciais de segunda ordem:
y^prime prime+2 y^prime+y=6 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 6e^-x
O conteúdo envolvido é:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada usando a equação característica.
  2. Obter uma solução particular da não homogênea pelo método dos coeficientes a determinar.
  3. Somar as duas para ter a solução geral do problema.

Passo 2

Vamos achar primeiro a solução da parte homogênea
y'' + 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0,
que fatoriza como
(r + 1)^2 = 0
Temos raiz dupla r = -1. Logo a solução complementar é
yc = C1 e^-x + C2,x e^-x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea
y'' + 2y' + y = 6e^-x
Como o termo do lado direito é e^-x e -1 é raiz dupla da característica, usamos o ansatz
yp = A x^2 e^-x,
multiplicando por x^2 por conta da multiplicidade 2 da raiz -1.

Passo 4

Calculamos derivadas de yp:
yp = A x^2 e^-x,
yp' = A,e^-x(2x - x^2),
yp'' = A,e^-x(2 - 4x + x^2)
Substituindo na equação diferencial:
yp'' + 2yp' + yp = A e^-xl[(2 -4x + x^2) + 2(2x - x^2) + x^2r] = A e^-xcdot 2
Queremos isso igual a 6e^-x, logo
2A e^-x = 6e^-x Longrightarrow A = 3
Portanto
yp = 3x^2 e^-x

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yc + yp = C1 e^-x + C2 x e^-x + 3x^2 e^-x

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + 3x^2 e^-x

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