Resolver as equações diferenciais de primeira ordem seguintes em R :

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem linear: y' - 3y = (3x^2 + 1)sin(3x). O conteúdo é equação diferencial linear de 1º ordem e vamos precisar do fator integrante para transformar o LHS num derivado de produto.

Passo 2

Identificamos que a forma padrão é y' + P(x)y = Q(x) com P(x) = -3. O fator integrante satisfaz mu(x) = e^integral P(x),dx = e^-3x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-3x. O lado esquerdo vira derivada de produto: ddxl(y,e^-3xr) = (3x^2+1)e^-3xsin(3x)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados: y,e^-3x = integral (3x^2+1)e^-3xsin(3x),dx + C

Passo 5

Dividimos o integrando em duas partes e usamos fórmulas conhecidas:
  1. I1 = integral e^-3xsin(3x),dx. Aplicando a fórmula integral e^axsin(bx)dx = e^ax(asin(bx)-bcos(bx))/(a^2+b^2) com a=-3,b=3, obtemos: I1 = -e^-3x6l(sin(3x)+cos(3x)r)

Passo 6

  1. I2 = integral x^2 e^-3xsin(3x),dx. Fazemos integração por partes duas vezes (escolhendo u=x^2, depois reduzindo o grau), e chegamos a I2 = -e^-3x6(3x^2+1)l(sin(3x)+cos(3x)r) - x e^-3x3cos(3x)

Passo 7

Somando (3x^2+1)I1 + I2 e multiplicando os fatores adequados, concluímos que integral (3x^2+1)e^-3xsin(3x),dx = -e^-3x6(3x^2+1)(sin(3x)+cos(3x)) - x e^-3x3cos(3x) + C'

Passo 8

Logo, y e^-3x = -e^-3x6(3x^2+1)(sin(3x)+cos(3x)) - x e^-3x3cos(3x) + C. Multiplicando por e^3x, obtemos a solução geral.

Resposta

y(x) = Ce^3x - 16(3x^2+1)l(sin(3x)+cos(3x)r) - x3 cos(3x), onde C é constante arbitrária.

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