Resolver as equações diferenciais seguintes em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em ℝ a equação diferencial de primeira ordem y′=x·y. O conteúdo principal é separação de variáveis, e vamos precisar usar integração simples para encontrar a família de soluções.
Passo 2
Começamos reescrevendo a equação e separando as variáveis y e x:
Dividindo ambos os lados por y (assumindo y≠0) e multiplicando por dx:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Isso dá
onde C₁ é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar y, exponenciamos ambos os lados:
Chamando C = ±e^{C₁}, que é uma constante real arbitrária, temos
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por uma família de funções exponenciais modulado pelo termo
, com constante C real.
Resposta
y(x) = C,e{\frac{x2}{2}},\quad C \in \mathbb{R}