Resolver as equações diferenciais seguintes em R :
y^prime=x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ a equação diferencial de primeira ordem y′=x·y. O conteúdo principal é separação de variáveis, e vamos precisar usar integração simples para encontrar a família de soluções.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação e separando as variáveis y e x:
dydx=x,y
Dividindo ambos os lados por y (assumindo y≠0) e multiplicando por dx:
1y,dy = x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral x,dx
Isso dá
ln|y| = x^22 + C1
onde C₁ é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar y, exponenciamos ambos os lados:
|y| = e^ln|y| = e^x^22 + C1 = e^C1,e^x^22
Chamando C = ±e^{C₁}, que é uma constante real arbitrária, temos
y = C,e^x^22.

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por uma família de funções exponenciais modulado pelo termo e^x^2/2, com constante C real.

Resposta

y(x) = C,e{\frac{x2}{2}},\quad C \in \mathbb{R}

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