Use o Teorema 2.6.2 e o Problema 46 para provar que
(a)
.
(b)
.
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
A questão pede para mostrar que as funções Re(z), Im(z) e |z| são contínuas em qualquer ponto z₀, isto é, que
,
e
. Vamos usar o Teorema 2.6.2 (propriedades de limite: soma, multiplicação por constante e produto) e as fórmulas do Problema 46:
Passo 2
Para aplicar o Teorema 2.6.2 ao termo conjugado, primeiro mostramos que a conjugação é contínua. De fato, se
e
, então
Logo, sempre que
Passo 3
Usando (46a) do Problema 46,
Pelo Teorema 2.6.2, limitares: soma e multiplicação por
Passo 4
Usando (46b),
De modo análogo, pelo Teorema 2.6.2 obtemos
Passo 5
Para o módulo, usamos a desigualdade triangular especializada:
Isso mostra diretamente que, se