Use o Teorema 2.6.2 e o Problema 46 para provar que
(a) .
(b) .
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Passo 1

A questão pede para mostrar que as funções Re(z), Im(z) e |z| são contínuas em qualquer ponto z₀, isto é, que limzto z₀Re(z)=Re(z₀), limzto z₀Im(z)=Im(z₀) e limzto z₀|z|=|z₀|. Vamos usar o Teorema 2.6.2 (propriedades de limite: soma, multiplicação por constante e produto) e as fórmulas do Problema 46:

Passo 2

Para aplicar o Teorema 2.6.2 ao termo conjugado, primeiro mostramos que a conjugação é contínua. De fato, se z=x+iy e z₀=x₀+iy₀, então
|z-z₀|=|x-x₀ - i(y-y₀)|=raiz(x-x₀)^2+(y-y₀)^2=|z-z₀|
Logo, sempre que zto z₀ temos ztoz₀.

Passo 3

Usando (46a) do Problema 46,
Re(z)=z+z2
Pelo Teorema 2.6.2, limitares: soma e multiplicação por 1/2. Assim
limzto z₀Re(z)=12l(limzto z₀z+limzto z₀zr)=12(z₀+z₀)=Re(z₀)

Passo 4

Usando (46b),
Im(z)=z-z2i
De modo análogo, pelo Teorema 2.6.2 obtemos
limzto z₀Im(z)=12il(z₀-z₀r)=Im(z₀)

Passo 5

Para o módulo, usamos a desigualdade triangular especializada:
l|,|z|-|z₀|r|<=|z-z₀|
Isso mostra diretamente que, se zto z₀, então |z|to|z₀|, ou seja,
limzto z₀|z|=|z₀|

Resposta

limzto z₀Re(z)=Re(z₀),;limzto z₀Im(z)=Im(z₀) e limzto z₀|z|=|z₀|.

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