Resolver as equações diferenciais pela técnica da transformada de Laplace. Fórmulas externas ao formulário precisam de justificativa.
Condições iniciais g(0)=g(0)=1 para
d^2 gd t^2-3 d gd t+2 g=5 t exp [-4 t]
Dados:
& L[1]=1p, L[exp [-k t]]=1p+k^prime, L[sen k t]=kp^2+k^2, L[cos k t]=pp^2+k^2 & L[exp [-ell t] sen k t]=k(p+ell)^2+k^2, L[exp [-ell t] cos k t]=p+ell(ell+p)^2+k^2, & L[f star g]=L[f] L[g], L[f^(n)]=p F^n-sumk=0^n-1 p^n-1-k f^(k)(0), d^n Fd p^n=(-1)^n L[t^n f] & (f star g)(t)=integral0^t f(tau) g(t-tau) d tau

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homôgene
d^2gdt^2 - 3dgdt + 2g = 5,t,e^-4t
com condições iniciais g(0)=1 e g'(0)=1.
O conteúdo é resolução por transformada de Laplace, usando
L[g'] = p,G(p)-g(0), L[g''] = p^2G(p)-p,g(0)-g'(0),
e a tabela de transformadas fornecida.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados e usando as condições iniciais,
L[g''] - 3L[g'] + 2L[g] = p^2G(p)-pcdot1-1 ;-;3l(p,G(p)-1r);+;2,G(p)
Do outro lado,
L[5,t,e^-4t] = 5,L[t,e^-4t]
Logo a equação em p fica
l(p^2-3p+2r)G(p);-;p-1+3 ;=;5,L[t,e^-4t]

Passo 3

Usamos a fórmula L[t,f(t)] = -ddpl(L[f(t)]r).
Como L[e^-4t]=tfrac1p+4, temos
L[t,e^-4t] = -ddp!l(tfrac1p+4r) = 1(p+4)^2
Substituindo em p-equação e reorganizando:
(p^2-3p+2),G(p) +(-p+2) = 5(p+4)^2 ;;Longrightarrow;; G(p) = tfrac5(p+4)^2 + p - 2(p-1)(p-2)
Escrevendo em parcela simples:
G(p) = p-2(p-1)(p-2) ;+;5(p-1)(p-2)(p+4)^2 = 1p-1 ;+;5(p-1)(p-2)(p+4)^2

Passo 4

Fazemos frações parciais em
5(p-1)(p-2)(p+4)^2 = Ap-1 + Bp-2 + Cp+4 + D(p+4)^2
Resolvendo pelos valores p=1,2,-4 e depois em p=0, obtemos
A = -tfrac15, B = tfrac536, C = tfrac11180, D = tfrac16
Assim
G(p) = 1p-1 ;+; l(-tfrac151p-1+tfrac5361p-2 +tfrac111801p+4+tfrac161(p+4)^2r) = 4/5p-1 + 5/36p-2 + 11/180p+4 + 1/6(p+4)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo,
L^-1l[tfrac4/5p-1r] = tfrac45e^t, L^-1l[tfrac5/36p-2r] = tfrac536e^2t, L^-1l[tfrac11/180p+4r] = tfrac11180e^-4t,
L^-1l[tfrac1/6(p+4)^2r] = tfrac16,t,e^-4t
Somando, obtemos
g(t) = 45e^t + 536e^2t + 11180e^-4t + 16,t,e^-4t

Resposta

g(t) = 45e^t + 536e^2t + 11180e^-4t + 16,t,e^-4t

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