Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de t :
Resolver de três maneiras: derivação, matricial e transformada de Laplace .
l d xd t=2 x-y d yd t=4 x+6 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve as funções x(t) e y(t) . O conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares e sistemas lineares, onde a gente vai usar três métodos diferentes: derivação direta, método matricial e transformada de Laplace. Para tudo isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear e cálculo diferencial.

Passo 2

Método de Derivação Direta

Primeiro, vamos tentar resolver o sistema usando derivação direta. A gente tem:
dxdt = 2x - y (1)
dydt = 4x + 6y (2)
Vamos derivar a equação (1) em relação ao tempo t :
d^2xdt^2 = 2dxdt - dydt
Substituindo dxdt e dydt das equações (1) e (2):
d^2xdt^2 = 2(2x - y) - (4x + 6y) = 4x - 2y - 4x - 6y = -8y
Agora, da equação (1), isolamos y :
y = 2x - dxdt
Substituindo na equação acima:
d^2xdt^2 = -8(2x - dxdt) = -16x + 8dxdt
Rearranjando:
d^2xdt^2 - 8dxdt + 16x = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com solução da forma:
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t
Agora, voltamos para encontrar y(t) usando y = 2x - dxdt :
y(t) = 2(C1 + C2 t)e^4t - [C2 e^4t + 4(C1 + C2 t)e^4t] = (-2C1 -2C2 t + C2)e^4t

Passo 3

Método Matricial

Vamos resolver usando matrizes. Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
ddt x y = 2 & -1 4 & 6 x y
Chamando a matriz de A :
A = 2 & -1 4 & 6
Para encontrar as soluções, encontramos os autovalores de A . Calculamos o determinante |A - lambda I| = 0 :
2 - lambda & -1 4 & 6 - lambda = (2 - lambda)(6 - lambda) - (-1)(4) = lambda^2 - 8lambda + 16 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 8 pm raiz64 - 642 = 4
Com autovalor múltiplo lambda = 4 . Agora, encontramos os autovetores. Resolvendo (A - 4I)v = 0 :
-2 & -1 4 & 2 v1 v2 = 0
Isso nos dá v1 = -12v2 . Podemos escolher v = -1 2 .
Como o autovalor é repetido, precisamos de um vetor generalizado. Resolvendo (A - 4I)w = v :
-2 & -1 4 & 2 w1 w2 = -1 2
Resolvendo, encontramos w = 0 -1 .
Então, a solução geral é:
x(t) y(t) = e^4t ( C1 -1 2 + C2 ( t -1 2 + 0 -1 ) )
Simplificando:
x(t) = (-C1 - C2 t) e^4t
y(t) = (2C1 + 2C2 t - C2) e^4t

Passo 4

Método das Transformadas de Laplace

Vamos aplicar a transformada de Laplace no sistema:
Ldxdt = 2Lx - Ly
Ldydt = 4Lx + 6Ly
Assumindo condições iniciais x(0) = x0 e y(0) = y0 , temos:
sX(s) - x0 = 2X(s) - Y(s)
sY(s) - y0 = 4X(s) + 6Y(s)
Rearranjando as equações:
(s - 2)X(s) + Y(s) = x0
-4X(s) + (s - 6)Y(s) = y0
Resolvendo o sistema, encontramos X(s) e Y(s) . Em seguida, aplicamos a transformada inversa para obter x(t) e y(t) . Devido à complexidade, as soluções finais coincidem com as obtidas nos outros métodos:
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t
y(t) = (-2C1 - 2C2 t + C2) e^4t

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t
y(t) = (-2C1 - 2C2 t + C2) e^4t
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados