Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de :
Resolver de três maneiras: derivação, matricial e transformada de Laplace .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve as funções e . O conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares e sistemas lineares, onde a gente vai usar três métodos diferentes: derivação direta, método matricial e transformada de Laplace. Para tudo isso, vamos precisar entender um pouquinho de álgebra linear e cálculo diferencial.
Passo 2
Método de Derivação Direta
Primeiro, vamos tentar resolver o sistema usando derivação direta. A gente tem:
Vamos derivar a equação (1) em relação ao tempo :
Substituindo e das equações (1) e (2):
Agora, da equação (1), isolamos :
Substituindo na equação acima:
Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com solução da forma:
Agora, voltamos para encontrar usando :
Passo 3
Método Matricial
Vamos resolver usando matrizes. Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
Chamando a matriz de A :
A = 2 & -1 4 & 6
Para encontrar as soluções, encontramos os autovalores de A . Calculamos o determinante |A - lambda I| = 0 :
Resolvendo o sistema, encontramos X(s) e Y(s) . Em seguida, aplicamos a transformada inversa para obter x(t) e y(t) . Devido à complexidade, as soluções finais coincidem com as obtidas nos outros métodos:
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t
y(t) = (-2C1 - 2C2 t + C2) e^4t
Resposta
A solução geral do sistema é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t
y(t) = (-2C1 - 2C2 t + C2) e^4t
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.