Resolver as equações diferenciais do 3^circ tipo:
d yd x=2 x-y+16 x-3 y-1

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial de primeira ordem
dydx=2x - y + 16x - 3y - 1
Este tipo de equação, em que a razão é um quociente de expressões lineares em x e y, pode ser simplificado encontrando uma combinação linear que reduza as variáveis a uma só. Vamos buscar uma nova variável s que torne o problema separável.

Passo 2

Definimos
s = 2x - y
Então note que
6x - 3y = 3,(2x - y)=3s,
e a equação original passa a ser
dydx=s + 13s - 1

Passo 3

Para obter uma equação só em s e x, diferenciamos s em relação a x e usamos a equação acima:
dsdx=2 - dydx =2 - s+13s-1 =2(3s-1)-(s+1)3s-1 =5s-33s-1
Invertendo, fica
dxds=3s-15s-3,
que já é uma equação separável.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
x = integral 3s-15s-3,ds
Fazendo a divisão polinomial
3s-15s-3 =35 + 4/55s-3,
temos
x =integral!l(35 + 4/55s-3r)ds =35s + 45cdot15lnl|5s-3r| + C =35s + 425lnl|5s-3r| + C

Passo 5

Voltando à variável original, s = 2x - y, obtemos
x =35(2x - y) + 425lnl|5(2x-y)-3r| + C
Multiplicando tudo por 25 e rearranjando, uma forma mais simples da solução implícita é
5x -15y + 4lnl|10x -5y -3r| = K,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

5x -15y + 4lnl|10x -5y -3r| = C

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