Resolver as equações diferenciais do 2^circ tipo:
(x mp y) d x+(y-x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do 2º tipo que é: (x mp y) dx + (y - x) dy = 0. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
(x - y) dx + (y - x) dy = 0
Podemos simplificar isso para:
(x - y)(dx - dy) = 0
Isso significa que ou x - y = 0 ou dx - dy = 0.

Passo 3

No entanto, para resolver de maneira geral, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
M = x - y e N = y - x
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -1 e partial Npartial x = -1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = x - y
Integramos M em relação a x:
F(x, y) = integral (x - y) dx = 12x^2 - yx + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Em seguida, obtemos a derivada parcial de F em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = -x + h'(y) = y - x
Simplificando:
h'(y) = y
Integrando h'(y):
h(y) = 12y^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos h(y) de volta na expressão de F(x, y):
F(x, y) = 12x^2 - yx + 12y^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
12x^2 - xy + 12y^2 = C
Onde C é a constante de integração.

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