Resolver as equações diferenciais do
tipo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do 2º tipo que é:
. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Podemos simplificar isso para:
Isso significa que ou
ou
.
Passo 3
No entanto, para resolver de maneira geral, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Em seguida, obtemos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.