Resolver as equações diferenciais do 2^circ tipo:
y d x+(2 raizx y-x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,dx + l(2raizxy-xr),dy = 0
onde tanto y quanto 2raizxy-x são funções homogêneas de grau 1 em (x,y). Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas,
y = u x,
de modo que u dependa de x e possamos transformar a equação em variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y = u x temos
dy = u,dx + x,du,
e
raizxy = raizx,(u x) = xraizu
Substituindo em
y,dx + l(2raizxy-xr),dy = 0
vem
u x,dx + l(2xraizu-xr)l(u,dx + x,dur)=0

Passo 3

Expandindo e organizando:
u x,dx + l(2xraizu-xr)u,dx + l(2xraizu-xr)x,du=0
Note que
u x + ul(2xraizu-xr) = u x +2u xraizu-u x =2u xraizu,
logo a equação fica
2u xraizu,dx + x^2(2raizu-1),du = 0
Dividindo por x^2 e rearranjando:
2uraizu,dxx + (2raizu-1),du = 0 Longrightarrow dxx = -2raizu-12uraizu,du

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dxx = -integral 2raizu-12uraizu,du = -12integral!l(2u^-1-u^-3/2r),du
Calculamos
integral 2u^-1,du = 2ln|u|, integral u^-3/2,du = -2u^-1/2,
portanto
-12l(2ln|u| -(-2u^-1/2)r) = -ln|u| - u^-1/2 + C
Assim
ln|x| = -ln|u| - u^-1/2 + C

Passo 5

Voltando a u = y/x, temos
-lnl|tfracyxr| = ln|x| - ln|y|, u^-1/2 = raizxy,
logo
ln|y| + raiztfracxy = C

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
boxedlnl|yr| + raizxy = C

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