Resolver as equações diferenciais do 2^circ tipo:
x d y-y d x=raizx^2+y^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial do 2º tipo
x,dy - y,dx = raizx^2+y^2;dx
Este é um caso de equação homogênea de grau 1 em x,y. Vamos usar a substituição
y = u,x,
de modo que u seja função de x.

Passo 2

Com y = u,x temos
dy = u,dx + x,du
Substituindo em x,dy - y,dx = raizx^2+y^2,dx obtemos
xl(u,dx + x,dur) - (u,x),dx = raizx^2 + u^2x^2;dx
Isto simplifica para
x^2,du = x,raiz1+u^2;dx
Como xneq0, dividimos por x e separamos variáveis:
duraiz1+u^2 = dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral duraiz1+u^2 = integral dxx Longrightarrow arcsinh(u)=lnlvert xrvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original y/x = u, a solução geral fica
arcsinh!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C

Resposta

boxed; arcsinh!l(yxr) -lnlvert xrvert = C ;
que é a forma implícita da família de soluções.

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