Resolver as equações:
|cccc-2 & -1 & 0 & 0 1 & x & -1 & 0 0 & 0 & x & -1 3 & 0 & 0 & x|=|ccx & 1 13 & x|

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os x (reais ou complexos) que satisfazem
det -2 & -1 & 0 & 0 1 & x & -1 & 0 0 & 0 & x & -1 3 & 0 & 0 & x = det x & 1 13 & x
O conteúdo principal aqui é determinante de matriz e resolução de uma equação polinomial (cúbica). Vamos calcular cada determinante e depois resolver a equação resultante.

Passo 2

Calcular D4=det -2 & -1 & 0 & 0 1 & x & -1 & 0 0 & 0 & x & -1 3 & 0 & 0 & x por expansão na primeira linha.
Os únicos pivôs não nulos na linha 1 estão em colunas 1 e 2:
  1. Coluna 1 ( a11=-2), o cofactor é o determinante do menor 3×3
    x & -1 & 0 0 & x & -1 0 & 0 & x ,
    que é triangular, logo seu determinante é xcdot xcdot x = x^3.
    Contribuição: (-2)times(+1)times x^3 = -2x^3.
  2. Coluna 2 ( a12=-1), o sinal do cofactor é (-1)^1+2=-1. O menor 3×3 é
    1 & -1 & 0 0 & x & -1 3 & 0 & x
    Expandindo pela primeira linha desse menor:
    1cdotdetx & -10 & x -(-1)cdotdet0 & -13 & x =1cdot(x^2)-(-1)cdot(0cdot x -(-1)cdot3) =x^2+3
    Como o sinal do cofactor é -1, a contribuição total é (-1)times(-1)times(x^2+3)=+(x^2+3).
Somando as contribuições,
D4 = -2x^3 + (x^2+3) = -2x^3 + x^2 + 3

Passo 3

Calcular D2=detx & 113 & x. Pela fórmula do determinante de 2times2,
D2 = xcdot x - 1cdot 13 = x^2 - 13

Passo 4

Igualamos D4 a D2:
-2x^3 + x^2 + 3 = x^2 - 13
Cancelamos x^2 dos dois lados e isolamos:
-2x^3 +3 = -13 Longrightarrow -2x^3 = -16 Longrightarrow x^3 = 8
A equação x^3=8 tem três raízes (uma real e duas complexas), dado pelas raízes cúbicas de 8=2^3:
x = 2, x = 2,e^2pi i/3 = -1 + iraiz3, x = 2,e^4pi i/3 = -1 - iraiz3

Resposta

x = 2,;-1 + iraiz3,;-1 - iraiz3

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