O enunciado pede para achar todos os x (reais ou complexos) que satisfazem
det -2 & -1 & 0 & 0 1 & x & -1 & 0 0 & 0 & x & -1 3 & 0 & 0 & x = det x & 1 13 & x
O conteúdo principal aqui é determinante de matriz e resolução de uma equação polinomial (cúbica). Vamos calcular cada determinante e depois resolver a equação resultante.
Passo 2
Calcular D4=det -2 & -1 & 0 & 0 1 & x & -1 & 0 0 & 0 & x & -1 3 & 0 & 0 & x por expansão na primeira linha.
Os únicos pivôs não nulos na linha 1 estão em colunas 1 e 2:
Coluna 1 (a11=-2), o cofactor é o determinante do menor 3×3
x & -1 & 0 0 & x & -1 0 & 0 & x ,
que é triangular, logo seu determinante é xcdot xcdot x = x^3.
Contribuição: (-2)times(+1)times x^3 = -2x^3.
Coluna 2 (a12=-1), o sinal do cofactor é (-1)^1+2=-1. O menor 3×3 é
1 & -1 & 0 0 & x & -1 3 & 0 & x
Expandindo pela primeira linha desse menor:
1cdotdetx & -10 & x -(-1)cdotdet0 & -13 & x =1cdot(x^2)-(-1)cdot(0cdot x -(-1)cdot3) =x^2+3
Como o sinal do cofactor é -1, a contribuição total é (-1)times(-1)times(x^2+3)=+(x^2+3).
Somando as contribuições,
D4 = -2x^3 + (x^2+3) = -2x^3 + x^2 + 3
Passo 3
Calcular D2=detx & 113 & x. Pela fórmula do determinante de 2times2,