Resolver as equações polinomiais
; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação polinomial p(x)=0 com
usando o método de Ruffini e depois esboçar o gráfico de y=p(x). Vamos aplicar o Teorema das Raízes Racionais, divisão sintética e, por fim, analisar o sinal para o gráfico.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, as raízes possíveis são os divisores de -2 (termo independente) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder). Logo, os candidatos são
Passo 3
Testamos p(-1):
logo x=-1 é raiz.
Passo 4
Dividimos p(x) por (x+1) via Ruffini (x_0=-1) nos coeficientes 1, 0, -2, -3, -2:
Então
Passo 5
Agora achamos as raízes de
Testando x=2:
logo x=2 é raiz. Dividimos por (x-2):
Então
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática
calculamos o discriminante:
Logo as raízes são complexas:
Passo 7
Analisando o sinal e esboço do gráfico: grau 4 com coeficiente líder positivo implica p(x)\to +\infty quando x\to \pm\infty. Zeros reais simples em x=-1 e x=2 (a curva cruza o eixo em cada um). Testando um ponto entre eles, por exemplo x=0, p(0)=-2<0, de modo que:
- Para x<-1, p(x)>0;
- Entre -1 e 2, p(x)<0;
- Para x>2, p(x)>0.
O gráfico começa em +\infty à esquerda, desce cruzando em x=-1, atinge um vale, sobe cruzando em x=2 e cresce para +\infty à direita.
Resposta
As raízes reais são x=-1 e x=2; as outras duas raízes são complexas x=\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}. O esboço aproximado de y=p(x) mostra a curva vindo de +∞ à esquerda, cruzando o eixo em x=-1, ficando negativa até x=2, cruzando novamente e voltando a +∞ à direita.