Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(7) p(x)=x^4-2 x^2-3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial p(x)=0 com
p(x)=x^4-2x^2-3x-2
usando o método de Ruffini e depois esboçar o gráfico de y=p(x). Vamos aplicar o Teorema das Raízes Racionais, divisão sintética e, por fim, analisar o sinal para o gráfico.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as raízes possíveis são os divisores de -2 (termo independente) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder). Logo, os candidatos são
pm1,;pm2

Passo 3

Testamos p(-1):
p(-1)=(-1)^4-2(-1)^2-3(-1)-2=1-2+3-2=0,
logo x=-1 é raiz.

Passo 4

Dividimos p(x) por (x+1) via Ruffini (x_0=-1) nos coeficientes 1, 0, -2, -3, -2:
c|rrrrr -1 & 1 & 0 & -2 & -3 & -2 & & -1 & 1 & 1 & 2 hline & 1 & -1 & -1 & -2 & 0
Então
p(x)=(x+1)(x^3 - x^2 - x - 2)

Passo 5

Agora achamos as raízes de
p1(x)=x^3 - x^2 - x -2
Testando x=2:
p1(2)=8-4-2-2=0,
logo x=2 é raiz. Dividimos por (x-2):
c|rrrr 2 & 1 & -1 & -1 & -2 & & 2 & 2 & 2 hline & 1 & 1 & 1 & 0
Então
x^3 - x^2 - x -2 = (x-2)(x^2 + x +1)

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática
x^2 + x + 1 = 0
calculamos o discriminante:
De
Logo as raízes são complexas:
x = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32

Passo 7

Analisando o sinal e esboço do gráfico: grau 4 com coeficiente líder positivo implica p(x)\to +\infty quando x\to \pm\infty. Zeros reais simples em x=-1 e x=2 (a curva cruza o eixo em cada um). Testando um ponto entre eles, por exemplo x=0, p(0)=-2<0, de modo que:
  • Para x<-1, p(x)>0;
  • Entre -1 e 2, p(x)<0;
  • Para x>2, p(x)>0.
    O gráfico começa em +\infty à esquerda, desce cruzando em x=-1, atinge um vale, sobe cruzando em x=2 e cresce para +\infty à direita.

Resposta

As raízes reais são x=-1 e x=2; as outras duas raízes são complexas x=\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}. O esboço aproximado de y=p(x) mostra a curva vindo de +∞ à esquerda, cruzando o eixo em x=-1, ficando negativa até x=2, cruzando novamente e voltando a +∞ à direita.

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