(a) Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja convergente. Demonstre que, se
então
também é convergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
(i)
(ii)
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para provar, na parte (a), que se duas séries de termos positivos Σa_n e Σb_n satisfazem Σb_n convergente e
, então Σa_n também converge. Isso envolve o teste de comparação direta entre séries positivas. Na parte (b) vamos aplicar esse resultado a duas séries específicas.
Passo 2
Como
, existe
tal que para todo
temos
. Logo para
,
. Daí pela comparação direta de séries de termos positivos,
Passo 3
(i) Para
escolhemos
. Como
converge (p-série com
), calculamos
Passo 4
(ii) Para
escolhemos
. Como
converge (p-série com
), calculamos
Resposta
As duas séries (i) e (ii) convergem.