(a) Suponha que Sigma an e Sigma bn sejam séries com termos positivos e que Sigma bn seja convergente. Demonstre que, se
lim n infty anbn=0
então sum an também é convergente.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
(i) sumn=1^infty ln nn^3
(ii) sumn=1^infty(1-cos 1n^2)

Passo 1

O enunciado pede para provar, na parte (a), que se duas séries de termos positivos Σa_n e Σb_n satisfazem Σb_n convergente e limntoinftyan/bn=0, então Σa_n também converge. Isso envolve o teste de comparação direta entre séries positivas. Na parte (b) vamos aplicar esse resultado a duas séries específicas.

Passo 2

Como limntoinftyanbn=0, existe N tal que para todo n>N temos anbn<1. Logo para n>N, an. Daí pela comparação direta de séries de termos positivos,
sumn=1^infty an = sumn=1^N an + sumn=N+1^infty an <= sumn=1^N an + sumn=N+1^infty bn < infty, portanto Σa_n converge.

Passo 3

(i) Para an=ln nn^3 escolhemos bn=1n^2. Como sum1/n^2 converge (p-série com p=2>1), calculamos
limntoinftyanbn=limntoinfty(ln n)/n^31/n^2=limntoinftyln nn=0 Pelo item (a), a série sumln nn^3 converge.

Passo 4

(ii) Para an=1-cos(1/n^2) escolhemos bn=1/n^3. Como sum1/n^3 converge (p-série com p=3>1), calculamos
limntoinfty1-cos(1/n^2)1/n^3=limntoinftyn^3l(1-cos(1/n^2)r) Usando a expansão de Taylor
cos x=1-x^22+o(x^2)quando xto0, temos para x=1/n^2 que
1-cos(1/n^2)=12n^4+ol(1/n^4r), e logo
n^3l(1-cos(1/n^2)r)=12n+ol(1/nr)to0 Pelo item (a), a série suml(1-cos(1/n^2)r) converge.

Resposta

As duas séries (i) e (ii) convergem.

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