Resolver as equações seguintes:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y''-y'+2y=0
Este é um conteúdo de equações lineares de 2ª ordem; vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação, temos:
r^2e^rx-re^rx+2e^rx=0
Como e^rx nunca é zero, cancelamos e chegamos à equação característica:
r^2-r+2=0

Passo 3

Agora calculamos o discriminante da equação quadrática:
De
Como De, as raízes são complexas:
r = 1pm iraiz72
Quando as raízes são alphapm ibeta, a solução geral é
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)

Passo 4

Aqui temos alpha=tfrac12 e beta=tfracraiz72. Substituindo, obtemos a solução geral da equação original:

Resposta

y(x)=e^x2l(C1cosl(tfracraiz72xr)+C2sinl(tfracraiz72xr)r)

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