Resolver as equações seguintes:

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Temos
y'' + 2y' - 5y = 0
O conteúdo aqui é o método da equação característica: a gente assume uma solução da forma y=e^rx para achar os valores de r que satisfazem a equação.

Passo 2

Para montar a equação característica, substituímos y=e^rx (logo y'=r e^rx e y''=r^2 e^rx) na equação diferencial. Como e^rx nunca é zero, defelegamos e obtemos
r^2 + 2r - 5 = 0

Passo 3

Agora calculamos o discriminante:
De
As raízes são então
r1,2 = -2 pm raiz242 = -2 pm 2raiz62 = -1 pm raiz6

Passo 4

Como as raízes r1 = -1 + raiz6 e r2 = -1 - raiz6 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear dos exponenciais correspondentes:

Resposta

y(x) = C1 e^(-1 + raiz6)x + C2 e^(-1 - raiz6)x

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