Resolver as equações seguintes:

Passo 1

A equação é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^x(x^2+1). Para resolver, primeiro achamos a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
y''-3y'+2y=0
O polinômio característico é r^2-3r+2=0, cujas raízes são r=1 e r=2. Então a solução homogênea é
yh(x)=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é e^xP2(x) e e^x corresponde à raiz r=1 simples, escolhemos o ansatz
yp(x)=e^x,xl(Ax^2+Bx+Cr)=e^x p(x),
onde p(x)=Ax^3+Bx^2+Cx.

Passo 4

Calculamos derivadas de yp. Primeiro
p'(x)=3Ax^2+2Bx+C,
p''(x)=6Ax+2B
Como
yp'=e^xl(p+p'r),
yp''=e^xl(p+2p'+p''r),
o operador aplicado a yp
yp''-3yp'+2yp=e^xl(p''-p'r)

Passo 5

Igualando ao termo não-homogêneo temos
p''(x)-p'(x)=x^2+1
Mas
$$p’’-p’=-3Ax^2+(6A-2B)x+(2B-C).
p''-p'=-3Ax^2+(6A-2B)x+(2B-C) ã-3A=1,$$
-3A=1,
6A-2B=0,

Passo 6

Resolvendo o sistema obtemos A=-1/3, B=-1 e C=-3. Assim
$$p(x)=-\frac{1}{3}x3-x2-3x,
p(x)=-13x^3-x^2-3x, çãéy_p(x)=-ex\Bigl(\frac{x3}{3}+x^2+3x\Bigr).
$$

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x)=C1e^x+C2e^2x-e^xl(x^33+x^2+3xr),
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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