Resolver as equações seguintes:

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea: resolver y''-y = x^3 + x^2. O conteúdo envolve: encontrar a solução geral da parte homogênea (coeficientes constantes) e uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. A equação característica associada a y''-y=0 é
r^2 - 1 = 0
cuja solução é r = pm1. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-x

Passo 3

Agora, para a parte particular, como o termo do lado direito é um polinômio de grau 3, adotamos a forma
yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D
Derivando temos
yp'(x) = 3A x^2 + 2B x + C,
yp''(x) = 6A x + 2B
Substituindo em y'' - y:
yp'' - yp = (6A x + 2B) - (A x^3 + B x^2 + C x + D) = -A x^3 - B x^2 + (6A - C)x + (2B - D)

Passo 4

Igualando ao lado direito x^3 + x^2 obtemos o sistema de coeficientes:
-A = 1, -B = 1, 6A - C = 0, 2B - D = 0
Resolvendo, A=-1, B=-1, C=-6 e D=-2. Assim
yp(x) = -x^3 - x^2 - 6x - 2

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-x - x^3 - x^2 - 6x - 2

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x - x^3 - x^2 - 6x - 2

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