Resolver por escalonamento os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{r}3 x+2 y+3 z=9 \\\ x-y+2 z=2 \\\\ 2 x+y-2 z=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema linear
\begin{cases} 3x + 2y + 3z = 9,\\\ x - y + 2z = 2,\\\\ 2x + y - 2z = 10. \end{cases}
O conteúdo aqui é Gauss: usar operações elementares de linha para transformar o sistema numa forma triangular superior e, daí, aplicar substituição reversa.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz aumentada do sistema e, para ter um pivô igual a 1 na primeira linha, trocamos a linha 1 com a linha 2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 3 & 9\\\\ 1 & -1 & 2 & 2\\\\ 2 & 1 & -2 & 10 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{trocar }L_1\leftrightarrow L_2}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2\\\\ 3 & 2 & 3 & 9\\\\ 2 & 1 & -2 & 10 \end{array}\right].

Passo 3

Agora eliminamos o x nas linhas 2 e 3 usando L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1:
L_2: (3,2,3\mid9) - 3\,(1,-1,2\mid2) = (0,5,-3\mid3),
L_3: (2,1,-2\mid10) - 2\,(1,-1,2\mid2) = (0,3,-6\mid6).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 2\\\\ 0 & 5 & -3 & 3\\\\ 0 & 3 & -6 & 6 \end{array}\right],
que corresponde ao sistema
\begin{cases} x - y + 2z = 2,\\\\ 5y - 3z = 3,\\\\ 3y - 6z = 6. \end{cases}

Passo 4

Eliminamos agora o y da terceira linha usando L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{3}{5}L_2:
3y -6z \;-\;\tfrac{3}{5}(5y -3z) = (3 -3)y \;+\;(-6 + \tfrac{9}{5})z = -\tfrac{21}{5}z,
6 \;-\;\tfrac{3}{5}\cdot3 = 6 - \tfrac{9}{5} = \tfrac{21}{5}.
Logo
-\tfrac{21}{5}z = \tfrac{21}{5} \quad\Longrightarrow\quad z = -1.

Passo 5

Com z=-1, voltamos à segunda equação 5y -3z = 3:
5y -3(-1) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5y +3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Finalmente, na primeira x - y + 2z = 2 temos
x - 0 + 2(-1) = 2 \quad\Longrightarrow\quad x -2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.

Resposta

(x,y,z) = (4,\,0,\,-1).

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