Resolver por escalonamento os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{r}x-y+z=0 \\\\ 3 x+y+z=8 \\\\ 5 x+3 y+4 z=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento (eliminação de Gauss), o sistema de três equações lineares em três incógnitas:
\begin{cases} x - y + z = 0,\\\\ 3x + y + z = 8,\\\\ 5x + 3y + 4z = 10. \end{cases}
O que precisamos fazer é montar a matriz aumentada, usar operações elementares para chegar a uma forma triangular superior e depois aplicar substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\[6pt] 3 & 1 & 1 & 8 \\[6pt] 5 & 3 & 4 & 10 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminamos a variável x das linhas 2 e 3 usando a primeira linha como pivô:
aplicamos R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{1}.
O cálculo dá:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 4 & -2 & 8 \\[4pt] 0 & 8 & -1 & 10 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora eliminamos a variável y da terceira linha usando a segunda linha como pivô:
aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}.
Isso leva a:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 4 & -2 & 8 \\[4pt] 0 & 0 & 3 & -6 \end{array}\right]
Agora a matriz está em forma triangular superior.]

Passo 5

Fazemos substituição regressiva:
Da terceira linha vem
3z = -6 \quad\Longrightarrow\quad z = -2.
Substituindo em 0\cdot x + 4y -2z = 8 (segunda linha):
4y -2(-2) = 8 \quad\Longrightarrow\quad 4y +4 = 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Finalmente, na primeira equação x - y + z = 0:
x - 1 +(-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x -3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

x = 3,\; y = 1,\; z = -2.

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