Resolver os exercícios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Derive:
(15) f(x) = x * e^x * cossec(x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Esse exercício está na matéria de Cálculo, mais especificamente em derivadas de funções que envolvem produtos e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e conhecer as derivadas das funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes que compõem a função . Temos três fatores multiplicando-se:

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do produto para três funções. A derivada será:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada uma das funções separadamente:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
  • Derivada de . Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas na expressão da regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada da função é:

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