Resolver os exercícios 1, 3 e 5 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Escreva a função composta na forma f(g(x)). Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u). Então, encontre a derivada d/y d/x.
(3) y = (1 - x^2)^10

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos escrevê-la como uma função composta, ou seja, na forma . Para isso, vamos identificar a função de dentro e a função de fora . Depois, vamos encontrar a derivada .

Passo 2

Vamos identificar as partes da função composta. Observe que está dentro da potência de 10. Então, podemos definir a função de dentro como:

Passo 3

Agora, a função de fora aplica a potência 10 ao . Então, a função de fora é:

Passo 4

Para encontrar a derivada , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se , então:

Passo 5

Vamos calcular . Como , derivando em relação a , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Sabemos que , então derivando em relação a , temos:

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:

Passo 8

Substituímos pela expressão original :

Passo 9

Simplificamos a expressão multiplicando os coeficientes:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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