Resolver os exercícios 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 do livro de Cálculo volume 1, 6 a edição de James Stewart da seção 3.6, página 204. Derive a função.
(9) f(x) = raiz(x) * ln(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de diferenciação da função . Este exercício está na seção de Derivadas do livro de Cálculo. Para resolver, precisamos aplicar regras de diferenciação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação:
Sabemos que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, identificamos que a função é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e separadamente.
Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas encontradas:

Passo 6

Simplificamos os termos:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 7

Juntando os dois termos simplificados:
Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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