Resolver os exercícios 47, 53, 55, 61 do livro de Cálculo volume 1, 6 a edição de James Stewart da seção 4.1, página 259. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
(53) f(x) = x / (x^2 + 1), [0, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 53 juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente sobre derivadas e análise de funções em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos. Esses valores são os maiores e menores que a função atinge no intervalo dado. Para encontrar esses valores, precisamos identificar os pontos críticos da função e também verificar os valores nos extremos do intervalo.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra onde a função tem taxas de variação nulas ou onde a inclinação da tangente é zero.
A função é:
Vamos derivar usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe. Esses serão nossos candidatos a pontos críticos.
Igualando a derivada a zero:
No nosso intervalo , apenas está dentro do intervalo.

Passo 5

Com o ponto crítico encontrado, agora vamos avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo para identificar os valores máximo e mínimo.
Calculando nos pontos:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor máximo absoluto de em e seu valor mínimo absoluto de em .

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