Se f(t) é a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=8 s^2-4 s+12s(s^2+4) então:
a. f^prime(0)=4
b. f(0)=-1
c. f(0)=3
d. f^prime(0)=-4
e. f^prime(0)=10

Passo 1

O enunciado pede os valores iniciais de f(t), sabendo que
F(s)=Lf(t)=8s^2-4s+12s,(s^2+4)
Para obter esses valores, vamos primeiro encontrar f(t) via frações parciais e depois calcular f(0) e f'(0).

Passo 2

Decompondo em frações parciais, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Igualando coeficientes:
Da última equação vem e .

Passo 3

Logo
F(s)=3s+5s-4s^2+4
Pela tabela de transformadas inversas,
L^-1ltfrac3sr(t)=3, L^-1ltfrac5ss^2+4r(t)=5cos(2t), L^-1ltfrac-4s^2+4r(t)=-2sin(2t)
Somando,
f(t)=3 + 5cos(2t) - 2sin(2t)

Passo 4

Derivando,
f'(t) = -10sin(2t) - 4cos(2t)
Logo, no instante t=0,
f'(0) = -10sin(0) - 4cos(0) = -4

Resposta

d. f'(0)=-4

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