Resolver as inequações:
|x-2| \geqslant x-4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x-2|\geqslant x-4.
O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto. Para resolver, vamos usar a definição por casos baseada no sinal de x-2.

Passo 2

Caso 1: x-2\geqslant0, ou seja x\geqslant2.
Nesse caso |x-2|=x-2, então a inequação fica
x-2\geqslant x-4.
Subtraindo x dos dois lados e somando 2, obtemos
-2\geqslant -4,
que é sempre verdadeira. Logo, todo x\geqslant2 satisfaz a inequação.

Passo 3

Caso 2: x-2<0, ou seja x<2.
Aqui |x-2|=2-x, e a inequação passa a ser
2-x\geqslant x-4.
Somando x e somando 4 em ambos os lados, vem
6\geqslant 2x \quad\Longrightarrow\quad x\leqslant3.
Como estamos em x<2, a condição x\leqslant3 já é satisfeita para todo x<2. Portanto, todo x<2 também satisfaz a inequação.

Passo 4

Juntando os dois casos, vemos que para qualquer x<2 ou qualquer x\geqslant2 a inequação é verdadeira. Isto é, não há restrição: todos os reais funcionam.

Resposta

A solução é x\in\mathbb{R}.

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