Resolver as seguintes inequações:
1 \leqslant|2 x+5|<9.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
1 \le |2x + 5| < 9.
O conteúdo aqui é manipular valor absoluto. Vamos usar as definições equivalentes:
  • |A|\ge 1 equivale a A\le -1 ou A\ge 1.
  • |A|<9 equivale a -9 < A < 9.

Passo 2

Resolvendo |2x+5|\ge 1:
2x+5 \le -1 \quad\text{ou}\quad 2x+5 \ge 1.
Daí:
2x+5\le -1 \implies 2x\le -6 \implies x\le -3,
2x+5\ge 1 \implies 2x\ge -4 \implies x\ge -2.
Logo o conjunto de solução dessa parte é
(-\infty, -3]\;\cup\;[-2,\infty).

Passo 3

Resolvendo |2x+5|<9:
-9 < 2x+5 < 9.
Subtraindo 5 em todas as partes:
-14 < 2x < 4
e dividindo por 2:
-7 < x < 2.
Logo o conjunto de solução dessa parte é
(-7,2).

Passo 4

Agora fazemos a interseção das duas soluções obtidas:
\bigl((-\infty,-3]\cup[-2,\infty)\bigr)\;\cap\;(-7,2).
Isto gera dois pedaços:
(-7,2)\cap(-\infty,-3] = (-7,-3],
(-7,2)\cap[-2,\infty) = [-2,2).

Resposta

(-7,-3]\;\cup\;[-2,2).

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