Resolver as inequeções modulares em R :
|2 x-33 x-1|>2

Passo 1

Vamos resolver a inequação |2x - 33x - 1| > 2. Aqui, estamos lidando com inequações modulares, que envolvem valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a função valor absoluto e resolver inequações fracionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o valor absoluto criando duas situações possíveis:
  1. 2x - 33x - 1 > 2
  2. 2x - 33x - 1 < -2
Isso acontece porque o valor absoluto de uma expressão é maior que 2 quando a expressão é maior que 2 ou menor que -2.

Passo 3

Vamos resolver a primeira inequação: 2x - 33x - 1 > 2.
Primeiro, subtraímos 2 de ambos os lados para ter 0 de um lado:
2x - 33x - 1 - 2 > 0
Para simplificar, colocamos as frações com o mesmo denominador:
2x - 3 - 2(3x - 1)3x - 1 > 0
Distribuindo o 2:
2x - 3 - 6x + 23x - 1 > 0
Simplificando o numerador:
-4x - 13x - 1 > 0
Agora, encontramos os pontos críticos onde o numerador e o denominador são zero:
  • Numerador: -4x - 1 = 0 Rightarrow x = -14
  • Denominador: 3x - 1 = 0 Rightarrow x = 13
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos testar.

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda inequação: 2x - 33x - 1 < -2.
Novamente, subtraímos -2 de ambos os lados:
2x - 33x - 1 + 2 < 0
Colocando as frações com o mesmo denominador:
2x - 3 + 2(3x - 1)3x - 1 < 0
Distribuindo o 2:
2x - 3 + 6x - 23x - 1 < 0
Simplificando o numerador:
8x - 53x - 1 < 0
Encontramos os pontos críticos:
  • Numerador: 8x - 5 = 0 Rightarrow x = 58
  • Denominador: 3x - 1 = 0 Rightarrow x = 13
Esses pontos também dividem a linha dos números reais em intervalos para teste.

Passo 5

Agora, combinamos as soluções das duas inequações, lembrando que x neq 13 porque o denominador não pode ser zero.
Analisando os intervalos:
  1. Para -4x - 13x - 1 > 0, as soluções são x < -14 ou x > 13.
  2. Para 8x - 53x - 1 < 0, as soluções são 13 < x < 58.
Unindo as duas soluções, temos:
x < -14 ou 13 < x < 58.

Resposta

A solução da inequação é x < -14 ou 13 < x < 58.

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