Resolver as inequeções modulares em R :
Lembre-se que se a>0 então |x|>a Long<=ftrightarrow x>a ou x<-a e|x| )
1<|x-1| <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade com valor absoluto 1 < |x - 1| <= 3. Aqui a gente está lidando com desigualdades modulares, que envolvem o valor absoluto de uma expressão. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular o valor absoluto e dividir a desigualdade em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ |x - 1| $. O valor absoluto de |x - 1| representa a distância de x - 1 até 1 na reta numérica. Então, a desigualdade x está dizendo que essa distância é maior que 1 e, ao mesmo tempo, menor ou igual a 3.

Passo 3

Vamos dividir a desigualdade em duas partes para facilitar:
  1. $ |x - 1| > 1 $
  2. $ |x - 1| \leq 3 $
Vamos resolver cada uma separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 4

Começando com $ |x - 1| > 1 $. Quando temos $ |a| > b $ com |x - 1| > 1 , isso significa que |a| > b ou b > 0. Aplicando isso aqui:
a > b

Passo 5

Resolvendo cada parte:
  1. x - 1 > 1
    Rightarrow x > 2
  2. x - 1 < -1
    Rightarrow x < 0
Então, $ |x - 1| > 1 $ significa que |x - 1| > 1 ou x > 2.

Passo 6

Agora, vamos resolver $ |x - 1| \leq 3 $. Para $ |a| \leq b $ com |x - 1| <= 3 , significa que |a| <= b . Aplicando aqui:
b > 0

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
-3 + 1 <= x <= 3 + 1 -2 <= x <= 4
Então, $ |x - 1| \leq 3 $ significa que |x - 1| <= 3 .

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes:
  1. x > 2 ou x < 0
  2. -2 <= x <= 4
Vamos encontrar os valores de x que satisfazem ambas as condições.

Passo 9

Para x > 2 dentro de -2 <= x <= 4, temos:
2 < x <= 4
Para x < 0 dentro de -2 <= x <= 4, temos:
-2 <= x < 0

Passo 10

Então, a solução final é a união desses dois intervalos:
-2 <= x < 0 ou 2 < x <= 4

Resposta

A solução da desigualdade 1 < |x - 1| <= 3 é:
-2 <= x < 0 ou 2 < x <= 4

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