Resolver as integrais definidas:
\int_{0}^{3}\left(6+6 y-y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\bigl(6 + 6y - y^{2}\bigr)\,dy
O conteúdo aqui é integração de polinômios e vamos usar a regra do poder, que diz que
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Aplicando a integração termo a termo, temos:
\int 6\,dy = 6y,
\int 6y\,dy = 6 \cdot \frac{y^{2}}{2} = 3y^{2},
\int (-y^{2})\,dy = -\frac{y^{3}}{3}.
Assim, uma primitiva F(y) é
F(y) = 6y + 3y^{2} - \frac{y^{3}}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos F entre 0 e 3:
F(3) = 6\cdot3 + 3\cdot3^{2} - \frac{3^{3}}{3} = 18 + 27 - 9 = 36,
F(0) = 6\cdot0 + 3\cdot0^{2} - \frac{0^{3}}{3} = 0.
Portanto,
\int_{0}^{3}\bigl(6 + 6y - y^{2}\bigr)\,dy = F(3) - F(0) = 36.

Resposta

36

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