Resolver as integrais definidas:
\int_{0}^{x} \frac{d t}{8+8 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{x} \frac{dt}{8+8t}.
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais, usando reconhecimento da derivada de logaritmo natural e fatoração de constantes.

Passo 2

Fatoramos 8 no denominador para simplificar o integrando:
\frac{1}{8+8t} = \frac{1}{8(1+t)} = \frac{1}{8}\,\frac{1}{1+t}.
Assim,
\int_{0}^{x} \frac{dt}{8+8t} = \frac{1}{8}\int_{0}^{x} \frac{dt}{1+t}.

Passo 3

Reconhecemos que
\int \frac{dt}{1+t} = \ln\lvert1+t\rvert + C,
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\int \frac{dt}{8(1+t)} = \frac{1}{8}\ln\lvert1+t\rvert + C.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliando de 0 a x:
\int_{0}^{x} \frac{dt}{8+8t} = \left[\frac{1}{8}\ln\lvert1+t\rvert\right]_{0}^{x} = \frac{1}{8}\bigl(\ln\lvert1+x\rvert - \ln\lvert1+0\rvert\bigr) = \frac{1}{8}\ln(1+x).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}\ln(1+x)

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