Resolver as integrais
integral (x+1)^2(x+2)5+2 x+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional
integral (x+1)^2(x+2)5+2x+x^2,dx
O conteúdo principal aqui é integração de função racional: vamos fazer divisão polinomial para reduzir o grau do numerador e depois decompor em partes que dão logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador e dividimos pelo denominador. Temos
(x+1)^2(x+2)=x^3+4x^2+5x+2, x^2+2x+5
Fazendo a divisão
x^3+4x^2+5x+2x^2+2x+5=x+2+-4x-8x^2+2x+5
ou seja
(x+1)^2(x+2)x^2+2x+5=x+2-4(x+2)x^2+2x+5

Passo 3

Reescrevemos o integrando em parcelas mais simples:
x+2-4(x+2)x^2+2x+5 = x+2 - 4x+1x^2+2x+5 - 41x^2+2x+5
Assim a integral fica a soma de três termos fáceis.

Passo 4

Calculamos cada parte:
1. integral (x+2),dx=x^22+2x 2. Para integral -4x+1x^2+2x+5,dx, faça u=x^2+2x+5, du=2(x+1),dx. Então
integral -4x+1u,dx =-2integral duu =-2lnl|x^2+2x+5r|
3. Para integral -41x^2+2x+5,dx, note que x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2, logo
integral dx(x+1)^2+2^2 =12arctan!l(x+12r),
e
-4cdot12arctan!l(x+12r) =-2arctan!l(x+12r)

Passo 5

Somando tudo, a primitiva é
x^22+2x -2lnl(x^2+2x+5r) -2arctan!l(x+12r) +C

Resposta

boxed integral (x+1)^2(x+2)5+2x+x^2,dx = x^22+2x -2lnl(x^2+2x+5r) -2arctan!l(x+12r) +C

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