Resolver
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O que se pede implicitamente é encontrar as soluções gerais
que satisfaçam essa equação. Informações importantes do enunciado:
- A equação envolve a função desconhecida
e sua derivada . - Aparece a raiz quadrada
, logo faz sentido trabalhar com se quisermos soluções reais. - Não há condição inicial fornecida, então vamos buscar a família geral de soluções (com constante arbitrária).
Passo 2
Observação sobre estratégia: a presença de
sugere tentar a substituição
(ou seja,
). Isso costuma simplificar equações onde aparecem potências racionais de
. Vou explicar a razão dessa escolha: se
, então a não linearidade em
pode reduzir a uma equação linear em
, porque a derivada de
dá um fator
que se combina com o termo em
.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo a derivada usando regra da cadeia:
Substituo
e
na equação original:
Passo 4
Simplifico a equação obtida. Se
for identicamente zero, isso dá uma solução especial que tratarei depois. Para
(ou localmente onde
não se anula) posso dividir por
. Dividindo por
:
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem em
.
Passo 5
Vou resolver a equação linear
Lembrete rápido sobre método do fator integrante: uma equação na forma
tem fator integrante
e então
. Aqui
, logo
Passo 6
Multiplico a equação linear pelo fator integrante
. Assim
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calculo a integral
. Faço a substituição
. Então
, ou seja
. Assim
Usando
obtemos
Substituindo na expressão do passo anterior (a constante adicional pode ser absorvida em
), fica
Passo 8
Isolo
:
onde
é uma constante real arbitrária. Lembre que
, logo voltando para
temos
Passo 9
Trato o caso especial que foi excluído quando dividimos por
: verificar
. Se
então
e a equação original
vira
, ou seja
. Logo
é solução válida (constante nula). Essa solução não aparece na forma
para
constante, pois essa expressão nunca é identicamente zero (para ser zero precisaríamos
, o que não é possível com
constante).
Passo 10
Discussão sobre domínio e sinais: a transformação
pressupõe
(para soluções reais). A família encontrada
é sempre não negativa, portanto adequada. A constante
pode ser qualquer real; diferentes
dão diferentes soluções. Além disso a solução
merece ser mencionada separadamente.