Resolver
w^{\prime}+x w=6 x w^{\frac{1}{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
w'(x) + x\,w(x) = 6x\,w(x)^{\tfrac{1}{2}}.
O que se pede implicitamente é encontrar as soluções gerais w(x) que satisfaçam essa equação. Informações importantes do enunciado:
  • A equação envolve a função desconhecida w e sua derivada w'.
  • Aparece a raiz quadrada w^{\tfrac{1}{2}}, logo faz sentido trabalhar com w\ge 0 se quisermos soluções reais.
  • Não há condição inicial fornecida, então vamos buscar a família geral de soluções (com constante arbitrária).

Passo 2

Observação sobre estratégia: a presença de w^{\tfrac{1}{2}} sugere tentar a substituição u(x)=w(x)^{\tfrac{1}{2}} (ou seja, w=u^2). Isso costuma simplificar equações onde aparecem potências racionais de w. Vou explicar a razão dessa escolha: se w=u^2, então a não linearidade em w^{1/2} pode reduzir a uma equação linear em u, porque a derivada de u^2 dá um fator 2u que se combina com o termo em w^{1/2}=u.

Passo 3

Faço a substituição w=u^2. Calculo a derivada usando regra da cadeia:
w' = (u^2)' = 2u\,u'.
Substituo w e w' na equação original:
2u\,u' + x\,u^2 = 6x\,u.

Passo 4

Simplifico a equação obtida. Se u(x) for identicamente zero, isso dá uma solução especial que tratarei depois. Para u\neq 0 (ou localmente onde u não se anula) posso dividir por 2u. Dividindo por 2u:
u' + \frac{x}{2}\,u = 3x.
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem em u.

Passo 5

Vou resolver a equação linear
u' + \frac{x}{2}\,u = 3x.
Lembrete rápido sobre método do fator integrante: uma equação na forma u' + p(x)u = q(x) tem fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right),
e então (\mu u)' = \mu q. Aqui p(x)=\dfrac{x}{2}, logo
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{x}{2}\,dx\right)=\exp\!\left(\frac{x^2}{4}\right).

Passo 6

Multiplico a equação linear pelo fator integrante \mu(x)=e^{x^2/4}. Assim
\bigl(e^{x^2/4} u\bigr)' = 3x\,e^{x^2/4}.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
e^{x^2/4}\,u = \int 3x\,e^{x^2/4}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Calculo a integral \displaystyle\int 3x\,e^{x^2/4}\,dx. Faço a substituição t=\dfrac{x^2}{4}. Então dt=\dfrac{x}{2}\,dx, ou seja x\,dx = 2\,dt. Assim
\int 3x\,e^{x^2/4}\,dx = 3\int x\,e^{t}\,dx = 3\int e^{t}\cdot (x\,dx).
Usando x\,dx=2\,dt obtemos
3\int e^{t}\cdot 2\,dt = 6\int e^{t}\,dt = 6e^{t} + \text{const} = 6e^{x^2/4} + \text{const}.
Substituindo na expressão do passo anterior (a constante adicional pode ser absorvida em C), fica
e^{x^2/4}\,u = 6e^{x^2/4} + C.

Passo 8

Isolo u:
u(x) = 6 + C e^{-x^2/4},
onde C é uma constante real arbitrária. Lembre que u=w^{1/2}, logo voltando para w temos
w(x) = u(x)^2 = \bigl(6 + C e^{-x^2/4}\bigr)^2.

Passo 9

Trato o caso especial que foi excluído quando dividimos por u: verificar w\equiv 0. Se w(x)\equiv 0 então w'=0 e a equação original
w' + xw = 6x w^{1/2}
vira 0 + x\cdot 0 = 6x\cdot 0, ou seja 0=0. Logo w\equiv 0 é solução válida (constante nula). Essa solução não aparece na forma w=(6+C e^{-x^2/4})^2 para C constante, pois essa expressão nunca é identicamente zero (para ser zero precisaríamos 6 + C e^{-x^2/4}\equiv 0, o que não é possível com C constante).

Passo 10

Discussão sobre domínio e sinais: a transformação u=w^{1/2} pressupõe w\ge 0 (para soluções reais). A família encontrada
w(x)=\bigl(6 + C e^{-x^2/4}\bigr)^2
é sempre não negativa, portanto adequada. A constante C pode ser qualquer real; diferentes C dão diferentes soluções. Além disso a solução w\equiv 0 merece ser mencionada separadamente.

Resposta

w(x)=0
w(x)=\bigl(6 + C e^{-x^2/4}\bigr)^2,\quad C\in\mathbb{R}

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