Resolver
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita da solução). Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
, , e . - Não há condições iniciais — queremos a família de soluções com constante arbitrária.
- Devemos permitir que a solução possa ser expressa implicitamente se necessário.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão para obter
. Começo isolando os termos com
e
:
Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo momentaneamente
e
— vamos discutir casos especiais depois), obtemos
Isto é a equação que vamos resolver.
Passo 3
Note que o lado direito depende apenas da razão
. Para ver isso, divido numerador e denominador por
:
Isso sugere a substituição clássica para este tipo de expressão: defino
onde
é uma nova função de
. Explico:
é a razão
. Agora calculo
em termos de
e
. Pela regra do produto,
Passo 4
Substituo
e
na equação
(já reescrita em termos de
):
Agora isolo
:
Faço a diferença no lado direito com denominador comum
:
Logo
Passo 5
Agora separo as variáveis
e
. Reescrevo a equação como
Isso é separável: a expressão à esquerda depende só de
e à direita só de
. Integro ambos os lados:
Para integrar a esquerda faço a substituição
, que dá
. Assim
A integral da direita é
Juntando (absorvendo constantes numa só constante
) obtemos
Passo 6
Manipulo a expressão integrada para isolar a relação entre
e
. Primeiro multiplico por
:
onde
. Exponenciando ambos os lados:
onde
. Podemos incorporar sinal em uma constante
arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero), e escrever mais simplesmente
com
constante arbitrária real. Multiplicando por
obtemos
Agora volto à variável original
lembrando que
. Substituo
:
Simplificando:
Multiplicando por
(ou deixando implícita), uma forma conveniente da solução geral é
onde
é constante arbitrária real.
Passo 7
Verifico os casos especiais que excluímos ao dividir:
ou
e as soluções constantes de
. A condição
corresponde a
, isto é
. Substituindo
na equação original confirma-se que são de fato soluções. Note que para
a solução implícita
fica
, que é equivalente a
. Portanto as retas
estão incluídas na família dada por
(caso
). Problemas com
podem ser vistos isoladamente: se
então a equação original dá
(com
numa curva vertical), normalmente tratamos isso como caso degenerado; a família implícita acima já descreve as soluções regulares para
e também cobre
.
Passo 8
Resumo final: a solução geral implícita da equação diferencial é
onde
é constante real arbitrária. Isso inclui as soluções particulares
quando
.