Resolver
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0
e pede encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita da solução). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona x, y, dx e dy.
  • Não há condições iniciais — queremos a família de soluções com constante arbitrária.
  • Devemos permitir que a solução possa ser expressa implicitamente se necessário.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão para obter \dfrac{dy}{dx}. Começo isolando os termos com dx e dy:
\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx = 2xy\,dy.
Dividindo ambos os lados por dx e por 2xy (assumindo momentaneamente x\neq0 e y\neq0 — vamos discutir casos especiais depois), obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}.
Isto é a equação que vamos resolver.

Passo 3

Note que o lado direito depende apenas da razão y/x. Para ver isso, divido numerador e denominador por x^{2}:
\frac{x^{2}+y^{2}}{2xy} = \frac{1+(y/x)^{2}}{2(y/x)}.
Isso sugere a substituição clássica para este tipo de expressão: defino
y = v(x)\,x,
onde v é uma nova função de x. Explico: v é a razão y/x. Agora calculo \dfrac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Pela regra do produto,
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1+v^{2}}{2v} (já reescrita em termos de v):
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v}.
Agora isolo x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v} - v.
Faço a diferença no lado direito com denominador comum 2v:
\frac{1+v^{2}}{2v} - v = \frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v} = \frac{1-v^{2}}{2v}.
Logo
x\frac{dv}{dx} = \frac{1-v^{2}}{2v}.

Passo 5

Agora separo as variáveis v e x. Reescrevo a equação como
\frac{2v}{1-v^{2}}\,dv = \frac{dx}{x}.
Isso é separável: a expressão à esquerda depende só de v e à direita só de x. Integro ambos os lados:
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Para integrar a esquerda faço a substituição u=1-v^{2}, que dá du=-2v\,dv. Assim
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C_{1} = -\ln|1-v^{2}| + C_{1}.
A integral da direita é
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{2}.
Juntando (absorvendo constantes numa só constante C) obtemos
-\ln|1-v^{2}| = \ln|x| + C.

Passo 6

Manipulo a expressão integrada para isolar a relação entre v e x. Primeiro multiplico por -1:
\ln|1-v^{2}| = -\ln|x| + C_{1},
onde C_{1}=-C. Exponenciando ambos os lados:
|1-v^{2}| = C_{2}\,|x|^{-1},
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Podemos incorporar sinal em uma constante C arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero), e escrever mais simplesmente
1-v^{2} = \frac{C}{x},
com C constante arbitrária real. Multiplicando por x obtemos
x(1-v^{2}) = C.
Agora volto à variável original y lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Substituo v^{2}=\dfrac{y^{2}}{x^{2}}:
x\left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) = C.
Simplificando:
x\cdot\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}} = C \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}-y^{2}}{x} = C.
Multiplicando por x (ou deixando implícita), uma forma conveniente da solução geral é
x^{2}-y^{2} = Cx,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 7

Verifico os casos especiais que excluímos ao dividir: x=0 ou y=0 e as soluções constantes de v. A condição 1-v^{2}=0 corresponde a v=\pm1, isto é y=\pm x. Substituindo y=\pm x na equação original confirma-se que são de fato soluções. Note que para C=0 a solução implícita x^{2}-y^{2}=Cx fica x^{2}-y^{2}=0, que é equivalente a y=\pm x. Portanto as retas y=\pm x estão incluídas na família dada por x^{2}-y^{2}=Cx (caso C=0). Problemas com x=0 podem ser vistos isoladamente: se x=0 então a equação original dá y^{2}\,dx=0 (com dx=0 numa curva vertical), normalmente tratamos isso como caso degenerado; a família implícita acima já descreve as soluções regulares para x\neq0 e também cobre y=\pm x.

Passo 8

Resumo final: a solução geral implícita da equação diferencial é
x^{2}-y^{2}=Cx,
onde C é constante real arbitrária. Isso inclui as soluções particulares y=\pm x quando C=0.

Resposta

x^{2}-y^{2}=Cx

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