Resolver
y^{\prime}=\exp (y-t) \operatorname{sec} (y)\left(1+t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\exp(y-t)\operatorname{sec}(y)\bigl(1+t^{2}\bigr),
onde y é função de t. O que se pede é encontrar a solução geral y(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em termos de y'=\dfrac{dy}{dt}.
  • Aparecem as funções \exp(\cdot), \operatorname{sec}(y) e o fator (1+t^{2}).
  • Como aparece \operatorname{sec}(y), a solução só faz sentido (no mesmo ramo) quando \cos(y)\neq0.
  • Objetivo: encontrar a família de soluções (constante de integração incluída).

Passo 2

Vamos observar a estrutura da equação para separar variáveis. Reescrevendo \exp(y-t) como \exp(y)\exp(-t) e \operatorname{sec}(y)=1/\cos(y), temos
\frac{dy}{dt}=\exp(y)\exp(-t)\frac{1}{\cos(y)}\bigl(1+t^{2}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por \cos(y)\exp(-y) e por dt, obtemos a equação separada:
\exp(-y)\cos(y)\,dy=\exp(-t)\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt.
Isto mostra que a equação é separável: todos os termos em y à esquerda e todos os termos em t à direita.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \exp(-y)\cos(y)\,dy=\int \exp(-t)\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt.
Vamos calcular as duas integrais separadamente.
Primeiro a integral da esquerda. Defina
I=\int \exp(-y)\cos(y)\,dy.
Usamos integração por partes duas vezes (método padrão para produto exponencial·trigonométrico).
Tomando u=\cos(y) e dv=\exp(-y)\,dy temos du=-\sin(y)\,dy e v=-\exp(-y). Assim
I=-\exp(-y)\cos(y)-\int \bigl(-\exp(-y)\bigr)\bigl(-\sin(y)\bigr)\,dy =-\exp(-y)\cos(y)-\int \exp(-y)\sin(y)\,dy.
Defina agora J=\int \exp(-y)\sin(y)\,dy. Aplicando partes a J com u=\sin(y), dv=\exp(-y)\,dy (logo du=\cos(y)\,dy, v=-\exp(-y)), obtemos
J=-\exp(-y)\sin(y)+\int \exp(-y)\cos(y)\,dy =-\exp(-y)\sin(y)+I.
Substituindo J na expressão para I:
I=-\exp(-y)\cos(y)-\bigl(-\exp(-y)\sin(y)+I\bigr) =-\exp(-y)\cos(y)+\exp(-y)\sin(y)-I.
Isolando I:
2I=\exp(-y)\bigl(\sin(y)-\cos(y)\bigr),
portanto
\boxed{\,\displaystyle \int \exp(-y)\cos(y)\,dy=\frac{\exp(-y)\bigl(\sin(y)-\cos(y)\bigr)}{2}+C_1\,}.

Passo 4

Agora a integral da direita:
\int \exp(-t)\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt=\int \exp(-t)\,dt+\int \exp(-t)t^{2}\,dt.
Calculamos \int \exp(-t)t^{2}\,dt por redução (integração por partes repetida).
Defina I_2=\int \exp(-t)t^{2}\,dt. Fazendo u=t^{2}, dv=\exp(-t)\,dt (logo du=2t\,dt, v=-\exp(-t)), obtemos
I_2=-t^{2}\exp(-t)+2\int \exp(-t)t\,dt.
Seja I_1=\int \exp(-t)t\,dt. Com u=t, dv=\exp(-t)\,dt vem I_1=-t\exp(-t)+\int \exp(-t)\,dt=-t\exp(-t)-\exp(-t). Assim
I_1=-(t+1)\exp(-t).
Substituindo em I_2:
I_2=-t^{2}\exp(-t)+2\bigl(-(t+1)\exp(-t)\bigr)=-\exp(-t)\bigl(t^{2}+2t+2\bigr).
Finalmente,
\int \exp(-t)\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt= \bigl(-\exp(-t)\bigr) + I_2 =-\exp(-t)-\exp(-t)\bigl(t^{2}+2t+2\bigr).
Somando termos:
\boxed{\,\displaystyle \int \exp(-t)\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt=-\exp(-t)\bigl(t^{2}+2t+3\bigr)+C_2\,}.

Passo 5

Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante de integração C), obtemos a solução implícita:
\frac{\exp(-y)\bigl(\sin(y)-\cos(y)\bigr)}{2}=-\exp(-t)\bigl(t^{2}+2t+3\bigr)+C.
Multiplicando por 2 para simplificar a aparência:
\exp(-y)\bigl(\sin(y)-\cos(y)\bigr)=-2\exp(-t)\bigl(t^{2}+2t+3\bigr)+C_1,
onde C_1 é uma constante arbitrária.

Passo 6

Comentário final (didático e prático para a prova):
  • A equação é separável e a técnica é sempre: colocar todos os termos em y multiplicando dy de um lado e os termos em t multiplicando dt do outro, e integrar.
  • A integral do lado de y foi feita por partes duas vezes (padrão para e^{ay}\cos(by) ou e^{ay}\sin(by)); memorizar a forma resultante pode poupar tempo: para a=-1, b=1 apareceu o fator \frac{e^{-y}}{2}(\sin y-\cos y).
  • A integral do lado de t exigiu redução para potências de t multiplicadas por exponencial; usar a fórmula recursiva de integração por partes é eficiente.
  • A solução final está em forma implícita. Resolver explicitamente para y(t) em forma fechada não é prático (transcendental), então a resposta implícita é a forma correta e aceitável em provas.
  • Lembrar da restrição \cos(y)\neq0 (para que \operatorname{sec} y esteja definida) e que a constante C_1 absorve constantes de integração.

Resposta

\exp(-y)\bigl(\sin(y)-\cos(y)\bigr)=-2\exp(-t)\bigl(t^{2}+2t+3\bigr)+C

Exercícios relacionados