Resolver
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
onde
é função de
. O que se pede é encontrar a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita em termos de
. - Aparecem as funções
, e o fator . - Como aparece
, a solução só faz sentido (no mesmo ramo) quando . - Objetivo: encontrar a família de soluções (constante de integração incluída).
Passo 2
Vamos observar a estrutura da equação para separar variáveis. Reescrevendo
como
e
, temos
Multiplicando ambos os lados por
e por
, obtemos a equação separada:
Isto mostra que a equação é separável: todos os termos em
à esquerda e todos os termos em
à direita.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Vamos calcular as duas integrais separadamente.
Primeiro a integral da esquerda. Defina
Usamos integração por partes duas vezes (método padrão para produto exponencial·trigonométrico).
Tomando
e
temos
e
. Assim
Defina agora
. Aplicando partes a
com
,
(logo
,
), obtemos
Substituindo
na expressão para
:
Isolando
:
portanto
Passo 4
Agora a integral da direita:
Calculamos
por redução (integração por partes repetida).
Defina
. Fazendo
,
(logo
,
), obtemos
Seja
. Com
,
vem
. Assim
Substituindo em
:
Finalmente,
Somando termos:
Passo 5
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante de integração
), obtemos a solução implícita:
Multiplicando por
para simplificar a aparência:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Comentário final (didático e prático para a prova):
- A equação é separável e a técnica é sempre: colocar todos os termos em
multiplicando de um lado e os termos em multiplicando do outro, e integrar. - A integral do lado de
foi feita por partes duas vezes (padrão para ou ); memorizar a forma resultante pode poupar tempo: para , apareceu o fator . - A integral do lado de
exigiu redução para potências de multiplicadas por exponencial; usar a fórmula recursiva de integração por partes é eficiente. - A solução final está em forma implícita. Resolver explicitamente para
em forma fechada não é prático (transcendental), então a resposta implícita é a forma correta e aceitável em provas. - Lembrar da restrição
(para que esteja definida) e que a constante absorve constantes de integração.