Resolver
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede encontrar a solução geral
. Informações importantes do enunciado:
- A equação envolve divisões por
e por , portanto devemos cuidar de pontos onde ou (essas regiões ficam fora do domínio de validade da fórmula original). - O objetivo é obter a família de soluções (com constante(s) de integração) válida para intervalos onde tudo faz sentido.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação de forma mais simples, separando os termos:
Isso transformou
numa soma de termos mais manejáveis:
e
.
Passo 3
Uma boa ideia quando aparece combinação com
e
é tentar uma variável que elimine essas frações. Considere a substituição
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora substituímos
pela expressão da equação original usando a forma obtida no Passo 2:
Passo 4
Simplificando a expressão do passo anterior:
Lembrando que
, obtemos uma equação em
:
Reorganizando na forma linear padrão para
:
Aqui estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem na variável
.
Passo 5
Para resolver a equação linear
usa-se o fator integrante
. No nosso caso
, logo
valendo para
. Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Isolando
obtemos
Passo 7
Voltando à variável original
(lembre que
), temos
Nesse ponto, tomou-se a solução geral para
. Para obter
basta extrair a raiz quadrada, lembrando das duas possíveis escolhas de sinal e das restrições de domínio:
e é preciso que
para que a raiz seja real.
Passo 8
Comentário final e verificação rápida: diferenciar implicitamente
conduz de volta à equação linear obtida para
, e por consequência à equação original, então a solução obtida é consistente. A família de soluções depende da constante
e vale em intervalos onde
e
. A escolha do sinal da raiz (positivo ou negativo) dá as duas possibilidades de ramo para
.