Resolver
y^{\prime}=\left(2 x^{2}+y^{2}\right)(x y)^{-1};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\frac{2x^{2}+y^{2}}{x y}
e pede encontrar a solução geral y(x). Informações importantes do enunciado:
  • A equação envolve divisões por x e por y, portanto devemos cuidar de pontos onde x=0 ou y=0 (essas regiões ficam fora do domínio de validade da fórmula original).
  • O objetivo é obter a família de soluções (com constante(s) de integração) válida para intervalos onde tudo faz sentido.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação de forma mais simples, separando os termos:
y'=\frac{2x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{2x^{2}}{x y}+\frac{y^{2}}{x y}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}.
Isso transformou y' numa soma de termos mais manejáveis: \dfrac{2x}{y} e \dfrac{y}{x}.

Passo 3

Uma boa ideia quando aparece combinação com y e y^{-1} é tentar uma variável que elimine essas frações. Considere a substituição
v=y^{2}.
Calculamos a derivada de v em relação a x:
\frac{dv}{dx}=2y\frac{dy}{dx}=2y\,y'.
Agora substituímos y' pela expressão da equação original usando a forma obtida no Passo 2:
\frac{dv}{dx}=2y\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}\right).

Passo 4

Simplificando a expressão do passo anterior:
\frac{dv}{dx}=2y\cdot\frac{2x}{y}+2y\cdot\frac{y}{x}=4x+\frac{2y^{2}}{x}.
Lembrando que v=y^{2}, obtemos uma equação em v:
\frac{dv}{dx}=4x+\frac{2v}{x}.
Reorganizando na forma linear padrão para v:
\frac{dv}{dx}-\frac{2}{x}\,v=4x.
Aqui estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem na variável v(x).

Passo 5

Para resolver a equação linear
\frac{dv}{dx}+p(x)v=q(x)
usa-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right). No nosso caso p(x)=-\dfrac{2}{x}, logo
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-2\ln|x|\big)=x^{-2},
valendo para x\neq0. Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}\frac{dv}{dx}-\frac{2}{x^{3}}v=4x\cdot x^{-2}=\frac{4}{x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\!\left(v x^{-2}\right). Portanto
\frac{d}{dx}\!\left(v x^{-2}\right)=\frac{4}{x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
v x^{-2}=\int \frac{4}{x}\,dx=4\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Isolando v obtemos
v=x^{2}\big(4\ln|x|+C\big).

Passo 7

Voltando à variável original y (lembre que v=y^{2}), temos
y^{2}=x^{2}\big(4\ln|x|+C\big).
Nesse ponto, tomou-se a solução geral para y^{2}. Para obter y basta extrair a raiz quadrada, lembrando das duas possíveis escolhas de sinal e das restrições de domínio: x\neq0 e é preciso que 4\ln|x|+C\ge 0 para que a raiz seja real.

Passo 8

Comentário final e verificação rápida: diferenciar implicitamente \,y^{2}=x^{2}(4\ln|x|+C)\, conduz de volta à equação linear obtida para v, e por consequência à equação original, então a solução obtida é consistente. A família de soluções depende da constante C e vale em intervalos onde x\neq0 e 4\ln|x|+C\ge 0. A escolha do sinal da raiz (positivo ou negativo) dá as duas possibilidades de ramo para y.

Resposta

y=\pm x\sqrt{4\ln|x|+C}

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