Resolver os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-2}.
Informações dadas: é uma função racional (razão de polinômios) e o ponto de interesse é x=-2. A tarefa é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=-2 diretamente na expressão para ver que tipo de situação temos.
\text{numerador}:\;(-2)^{2}-4 = 4-4 = 0,
\text{denominador}:\;(-2)^{2}+(-2)-2 = 4-2-2 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição — é preciso manipular a expressão.

Passo 3

Escolha do método: como temos polinômios, a técnica mais simples é fatorar e simplificar. Vou explicar rapidamente como fatorar os dois polinômios envolvidos.
  • Para x^{2}-4 é uma diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui x^{2}-4=(x-2)(x+2).
  • Para x^{2}+x-2 procuramos dois números que multiplicam para -2 e somam 1. Esses números são 2 e -1. Logo
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original:
\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)}.

Passo 5

Como para x\neq -2 o fator (x+2) é não nulo, podemos cancelar (x+2) e obter a forma simplificada válida para x próximos de -2 (exceto exatamente em -2):
\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-1)}=\frac{x-2}{x-1}\qquad (x\neq-2).

Passo 6

Agora que simplificamos, a função resultante \dfrac{x-2}{x-1} é contínua no ponto x=-2 (o denominador vale -3\neq0), então podemos calcular o limite por substituição:
\lim_{x\to -2}\frac{x-2}{x-1}=\frac{-2-2}{-2-1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Interpretação e justificativa curta: a indeterminação 0/0 ocorreu porque tanto numerador quanto denominador tinham um fator comum (x+2) que zera em x=-2. Ao cancelar esse fator obtemos uma expressão que descreve o comportamento da função para x próximos de -2; o limite depende desse comportamento próximo, não do valor exatamente em -2. Então o limite é \dfrac{4}{3}. Exemplo parecido: \lim_{x\to1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2.

Passo 8

Dica rápida para a prova (repetição para fixar): ao ver 0/0 com polinômios, tente sempre fatorar e cancelar fatores comuns antes de aplicar regras mais pesadas. Você tira muitos limites assim com contas simples. Força aí, você consegue!

Resposta

\dfrac{4}{3}

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