Resolver os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: é uma função racional (razão de polinômios) e o ponto de interesse é
. A tarefa é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente na expressão para ver que tipo de situação temos.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição — é preciso manipular a expressão.
Passo 3
Escolha do método: como temos polinômios, a técnica mais simples é fatorar e simplificar. Vou explicar rapidamente como fatorar os dois polinômios envolvidos.
- Para
é uma diferença de quadrados: . Aqui . - Para
procuramos dois números que multiplicam para e somam . Esses números são e . Logo
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original:
Passo 5
Como para
o fator
é não nulo, podemos cancelar
e obter a forma simplificada válida para
próximos de
(exceto exatamente em
):
Passo 6
Agora que simplificamos, a função resultante
é contínua no ponto
(o denominador vale
), então podemos calcular o limite por substituição:
Passo 7
Interpretação e justificativa curta: a indeterminação
ocorreu porque tanto numerador quanto denominador tinham um fator comum
que zera em
. Ao cancelar esse fator obtemos uma expressão que descreve o comportamento da função para
próximos de
; o limite depende desse comportamento próximo, não do valor exatamente em
. Então o limite é
. Exemplo parecido:
.
Passo 8
Dica rápida para a prova (repetição para fixar): ao ver
com polinômios, tente sempre fatorar e cancelar fatores comuns antes de aplicar regras mais pesadas. Você tira muitos limites assim com contas simples. Força aí, você consegue!