Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogénea y resolverla según el caso:
.
(Rta.:
)
(Rta.:
Passo 1
El enunciado nos pide resolver la ecuación
usando el método de ecuaciones homogéneas. Vamos a necesitar comprobar la homogeneidad de los coeficientes y aplicar la sustitución
.
Passo 2
Identificamos los coeficientes
y observamos que al introducir
Passo 3
Realizamos la sustitución
, de modo que
Sustituimos en la ecuación original:
Passo 4
Agrupamos términos en
y
:
$$x\bigl(1 - v\cos v + v\cos v\bigr)dx + x^2\cos v,dv=0 \quad\Longrightarrow\quad x,dx + x^2\cos v,dv=0.
Passo 5
Integramos ambos lados:
$$\int\frac{dx}{x} + \int\cos v,dv = C \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| + \sin v = C.
$$
Finalmente, deshacemos la sustitución y obtenemos la solución general:
Finalmente, deshacemos la sustitución
Passo 6
La solución general es
Resposta
\ln|x| + \sin\frac{y}{x} = C