Resolver los siguientes ejercicios por el método de las homogéneas, ó convertirla en homogénea y resolverla según el caso:
(x-y cos yx) d x+x cos yx d y=0.
(Rta.: ln |x|+sen yx=C )

Passo 1

El enunciado nos pide resolver la ecuación
l(x - ycosyxr),dx + xcosyx,dy = 0
usando el método de ecuaciones homogéneas. Vamos a necesitar comprobar la homogeneidad de los coeficientes y aplicar la sustitución y=vx.

Passo 2

Identificamos los coeficientes
M(x,y)=x - ycosyx, N(x,y)=xcosyx
y observamos que al introducir v=yx ambos se expresan como funciones de v multiplicadas por x, es decir son homogéneos de grado 1.

Passo 3

Realizamos la sustitución y=vx, de modo que
dy = v,dx + x,dv
Sustituimos en la ecuación original:
l(x - vxcos vr)dx + xcos v,(v,dx + x,dv)=0

Passo 4

Agrupamos términos en dx y dv:
$$x\bigl(1 - v\cos v + v\cos v\bigr)dx + x^2\cos v,dv=0 \quad\Longrightarrow\quad x,dx + x^2\cos v,dv=0.
xl(1 - vcos v + vcos vr)dx + x^2cos v,dv=0 Longrightarrow x,dx + x^2cos v,dv=0 \frac{dx}{x} + \cos v,dv = 0.$$

Passo 5

Integramos ambos lados:
$$\int\frac{dx}{x} + \int\cos v,dv = C \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| + \sin v = C.
$$
Finalmente, deshacemos la sustitución integraldxx + integralcos v,dv = C Longrightarrow ln|x| + sin v = C y obtenemos la solución general:

Passo 6

La solución general es
ln|x| + sinyx = C

Resposta

\ln|x| + \sin\frac{y}{x} = C

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