Resolver o P.V.I.s abaixo:
lx d yd x+2 y=sen xx y(pi)=1

Passo 1

Neste problema, temos o P.V.I. dado por xdydx+2y=senxx com condição y(pi)=1. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem; vamos colocar na forma padrão, achar o fator integrante, resolver e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (supondo xneq0) para obter a forma padrão de uma equação linear: dydx+2xy=senxx^2. Aqui identificamos p(x)=2/x e q(x)=senx/x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral(2/x),dx=e^2ln x=x^2. Esse fator facilita escrever o lado esquerdo como derivada de um produto.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2, obtendo x^2dydx+2x y=senx. Reconhecemos que o lado esquerdo é ddx(x^2y). Assim, temos
ddx(x^2y)=senx

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral d(x^2y)=integralsenx,dx
Isso dá x^2y=-cos x+C. Logo y=-cos x+Cx^2.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(pi)=1:
-cos(pi)+Cpi^2=1
Como cos(pi)=-1, fica 1+Cpi^2=1, logo C=pi^2-1.

Resposta

y(x)=-cos x+pi^2-1x^2.

Exercícios relacionados