e pede resolver essa equação (encontrar a solução geral). Informações úteis extraídas do enunciado:
A equação está na forma \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y^{2}}{x y + (x^{4}y^{2})^{1/3}}.
Aparecem potências fracionárias do tipo (\cdot)^{1/3}; a raiz cúbica é definida para números reais positivos e negativos, mas no processo de integração surgirá um logaritmo onde usaremos valores absolutos.
O objetivo é obter a solução geral y(x).
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão que aparece no denominador. Calcular (x^{4}y^{2})^{1/3}.
y' = \dfrac{y^{2}}{x y + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}}.
Passo 3
Procurar uma substituição que simplifique os expoentes fracionários. Observe que aparecem os termos x^{-1/3} y^{1/3} se organizarmos o denominador. Uma escolha natural é introduzir
u = \left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!\frac{1}{3}}.
Esta escolha reduz potências como (y/x)^{4/3} a potências inteiras de u. Da definição segue
u^{3} = \dfrac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y = x u^{3}.
Passo 4
Calcular y' em termos de u e u'. Diferenciando y = x u^{3} em relação a x (usando regra do produto):
onde K é constante arbitrária (determina a curva solução). Se preferir manter em forma implícita, a relação
\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3} + \ln\left|\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3}\right| = -\dfrac{1}{3}\ln|x| + C
também representa a solução geral.
Observação sobre casos especiais: u\equiv 0 corresponde a y\equiv 0, que é solução trivial da ODE (verificar substituindo y=0 na equação original). A solução com Lambert W cobre as soluções não triviais.
Resposta
Solução implícita:
\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3} + \ln\left|\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3}\right| = -\dfrac{1}{3}\ln|x| + C.