Resolver
y^{\prime}=y^{2}\left[x y+\left(x^{4} y^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = y^{2}\left[x y+\left(x^{4} y^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{-1}
e pede resolver essa equação (encontrar a solução geral). Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação está na forma \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y^{2}}{x y + (x^{4}y^{2})^{1/3}}.
  • Aparecem potências fracionárias do tipo (\cdot)^{1/3}; a raiz cúbica é definida para números reais positivos e negativos, mas no processo de integração surgirá um logaritmo onde usaremos valores absolutos.
  • O objetivo é obter a solução geral y(x).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão que aparece no denominador. Calcular (x^{4}y^{2})^{1/3}.
(x^{4}y^{2})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}.
Assim a equação fica
y' = \dfrac{y^{2}}{x y + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}}.

Passo 3

Procurar uma substituição que simplifique os expoentes fracionários. Observe que aparecem os termos x^{-1/3} y^{1/3} se organizarmos o denominador. Uma escolha natural é introduzir
u = \left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!\frac{1}{3}}.
Esta escolha reduz potências como (y/x)^{4/3} a potências inteiras de u. Da definição segue
u^{3} = \dfrac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y = x u^{3}.

Passo 4

Calcular y' em termos de u e u'. Diferenciando y = x u^{3} em relação a x (usando regra do produto):
y' = \dfrac{dy}{dx} = u^{3} + x\cdot 3u^{2}\dfrac{du}{dx} = u^{3} + 3x u^{2} u'.

Passo 5

Expressar o lado direito da equação original em termos de u. Já temos (y/x)^{4/3} = (u^{3})^{4/3} = u^{4}. E
x^{-1/3} y^{1/3} = \left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3} = u.
Portanto o denominador original x y + x^{4/3} y^{2/3} pode ser manipulado, mas é mais prático usar a forma já simplificada obtida antes:
y' = \dfrac{(y/x)^{4/3}}{\,x^{-1/3} y^{1/3} + 1\,} = \dfrac{u^{4}}{u+1}.

Passo 6

Igualar as duas expressões para y' (a obtida por diferenciação e a da equação):
u^{3} + 3x u^{2} u' = \dfrac{u^{4}}{u+1}.
Isolar o termo com u':
3x u^{2} u' = \dfrac{u^{4}}{u+1} - u^{3}.
Fazer a subtração no lado direito:
\dfrac{u^{4}}{u+1} - u^{3} = u^{3}\left(\dfrac{u}{u+1} - 1\right) = u^{3}\left(\dfrac{u-(u+1)}{u+1}\right) = -\dfrac{u^{3}}{u+1}.
Logo
3x u^{2} u' = -\dfrac{u^{3}}{u+1}.

Passo 7

Simplificar dividindo por 3x u^{2} (assumindo u\neq 0 — caso u\equiv 0 será tratado depois):
u' = -\dfrac{u}{3x(u+1)}.
Isto é uma equação separável em u e x.

Passo 8

Separar variáveis e integrar. Escrevendo u' = \dfrac{du}{dx}:
\dfrac{u+1}{u}\,du = -\dfrac{1}{3}\,\dfrac{dx}{x}.
Integrar ambos os lados:
\int\left(1+\dfrac{1}{u}\right)du = \int -\dfrac{1}{3}\,\dfrac{dx}{x}.
Calcular as integrais:
u + \ln|u| = -\dfrac{1}{3}\ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 9

Rearranjar a solução implícita de forma conveniente. Colocar os termos logarítmicos juntos:
u + \ln|u| + \dfrac{1}{3}\ln|x| = C.
Combinar os logaritmos:
u + \ln\!\big(|u|\,|x|^{\frac{1}{3}}\big) = C.
Isolar o logaritmo e exponenciar para obter um produto exponencial:
\ln\!\big(|u|\,|x|^{\frac{1}{3}}\big) = C - u \quad\Rightarrow\quad |u|\,|x|^{\frac{1}{3}} = e^{C-u}.
Escrever e^{C}=K (constante positiva) e remover o valor absoluto incorporando sinal na constante geral K (podemos permitir K\neq 0 real). Obtém-se
u e^{u} = K x^{-\frac{1}{3}},
onde K é uma constante arbitrária não nula (pode ser positiva ou negativa dependendo do sinal de u e e^{C}).

Passo 10

Resolver explicitamente para u usando a função de Lambert W, que é definida pela relação \,W(z)e^{W(z)}=z. Aplicando W aos dois lados:
u = W\!\big(K x^{-\frac{1}{3}}\big).
Lembrando que y = x u^{3}, obtemos a solução explícita:
y(x) = x\left[W\!\big(K x^{-\tfrac{1}{3}}\big)\right]^{3},
onde K é constante arbitrária (determina a curva solução). Se preferir manter em forma implícita, a relação
\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3} + \ln\left|\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3}\right| = -\dfrac{1}{3}\ln|x| + C
também representa a solução geral.
Observação sobre casos especiais: u\equiv 0 corresponde a y\equiv 0, que é solução trivial da ODE (verificar substituindo y=0 na equação original). A solução com Lambert W cobre as soluções não triviais.

Resposta

Solução implícita:
\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3} + \ln\left|\left(\dfrac{y}{x}\right)^{\!1/3}\right| = -\dfrac{1}{3}\ln|x| + C.
Solução explícita (usando Lambert W):
y(x)=x\left[W\!\big(K x^{-\tfrac{1}{3}}\big)\right]^{3},
onde C ou K são constantes arbitrárias (e y\equiv 0 é a solução trivial).

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