Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
integralegral duplaD e^x^2+y^2 d A
em que D é a região no primeiro quadrante do plano x y, acima da reta y=x e abaixo da circunferência x^2+y^2=4. Resp.: pi8(e^4-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício pede para calcular:
integral duplaD e^x^2+y^2 , dA
onde a região D está no primeiro quadrante do plano xy , acima da reta y = x e abaixo da circunferência x^2+y^2=4 . Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e definir corretamente os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações entre x, y e r, theta são:
x = r costheta y = r sintheta
E a área dA se transforma em:
dA = r , dr , dtheta
Isso facilita a integração em regiões circulares ou com simetria radial.

Passo 3

Vamos expressar a função e^x^2+y^2 em coordenadas polares. Sabemos que:
x^2 + y^2 = r^2
Então, a função fica:
e^x^2+y^2 = e^r^2
Agora, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaD e^r^2 , r , dr , dtheta

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração para r e theta que descrevem a região D .
  • A circunferência x^2+y^2=4 em coordenadas polares é r = 2 .
  • A reta y = x em coordenadas polares é theta = pi4 .
Como estamos no primeiro quadrante e acima da reta y = x , theta varia de pi4 até pi2 (pois o primeiro quadrante vai até pi2 ).
Para r , ele varia de 0 até 2.

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral com os limites definidos:
integraltheta=pi4^pi2 integralr=0^2 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro.

Passo 6

A integral interna é:
integral0^2 e^r^2 cdot r , dr
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = r^2 , então du = 2r , dr , ou seja, du2 = r , dr .
Substituindo na integral:
integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^r^2 + C
Agora, avaliamos de r = 0 a r = 2 :
12 (e^4 - e^0) = 12 (e^4 - 1)

Passo 7

Agora, a integral fica:
integralpi4^pi2 12 (e^4 - 1) , dtheta
Como 12 (e^4 - 1) é constante em relação a theta , podemos sair com esse fator:
12 (e^4 - 1) integralpi4^pi2 dtheta = 12 (e^4 - 1) (pi2 - pi4)

Passo 8

Simplificando a diferença dos limites de theta :
pi2 - pi4 = pi4
Então, a integral total é:
12 (e^4 - 1) cdot pi4 = pi8 (e^4 - 1)

Resposta

pi8(e^4-1)

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