Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região no primeiro quadrante do plano
, acima da reta
e abaixo da circunferência
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla usando coordenadas polares. O exercício pede para calcular:
onde a região
está no primeiro quadrante do plano
, acima da reta
e abaixo da circunferência
. Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e definir corretamente os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações entre
e
são:
E a área
se transforma em:
Isso facilita a integração em regiões circulares ou com simetria radial.
Passo 3
Vamos expressar a função
em coordenadas polares. Sabemos que:
Então, a função fica:
Agora, nossa integral dupla em coordenadas polares fica:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração para
e
que descrevem a região
.
- A circunferência
em coordenadas polares é . - A reta
em coordenadas polares é .
Como estamos no primeiro quadrante e acima da reta
,
varia de
até
(pois o primeiro quadrante vai até
).
Para
, ele varia de 0 até 2.
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral com os limites definidos:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 6
A integral interna é:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Como
é constante em relação a
, podemos sair com esse fator:
Passo 8
Simplificando a diferença dos limites de
:
Então, a integral total é: