Resolver os problemas seguintes usando a transformada de Laplace :
y^prime prime+4 y=sen(2 t), y(0)=0 e y^prime(0)=0;

Passo 1

O problema é resolver a EDO de segunda ordem não-homogênea y'' + 4y = sin(2t) com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0 usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de transformada de y'' e da transformada de sin(2t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados da equação. Pela linearidade e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
(s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 4Y(s) = 2s^2+4
Substituindo as condições iniciais resulta
(s^2+4)Y(s) = 2s^2+4 .

Passo 3

Isolamos Y(s) na expressão acima, chegando a
Y(s) = 2(s^2+4)^2 .

Passo 4

Usamos a transformada inversa sabendo que
L^-1tfrac1(s^2+a^2)^2 = 12a^3(sin(at) - a tcos(at))
Para a=2,
y(t) = L^-1Y(s) = 2cdottfrac116(sin(2t) - 2tcos(2t)) = tfrac18sin(2t) - tfrac14tcos(2t)

Resposta

y(t) = tfrac18sin(2t) - tfrac14tcos(2t)

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