Usando as séries de Fourier, encontre uma solução particular da equação seguinte :
y^prime prime+y=|cos (t)|
Resposta : .

Passo 1

Relembrando a tarefa: a EDO é y''+y=|cos(t)|. O conteúdo é séries de Fourier, e vamos precisar expandir |cos(t)| numa série trigonométrica para depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

Como |cos(t)| é função par de período 2pi, sua série só tem cossenos:
|cos(t)|=a0+sumn=1^infty ancos(2n t)
Calculando os coeficientes:
a0=1piintegral0^2pi|cos t|,dt=2pi,
an=1piintegral0^2pi|cos t|cos(2n t),dt=-4pi(-1)^n4n^2-1

Passo 3

Procuramos uma solução particular na forma
yp(t)=A0+sumn=1^infty Ancos(2n t)
Substituindo na EDO e igualando o termo constante, vem
A0+0=a0implies A0=2pi

Passo 4

Para cada harmônico cos(2n t), temos
yp''+yp=(-4n^2An+An)cos(2n t)=ancos(2n t)
Logo
An(1-4n^2)=animplies An=an1-4n^2=-an4n^2-1
Substituindo an resulta
An=4pi(-1)^n(4n^2-1)^2

Passo 5

Juntando todos os termos, a solução particular é
yp(t)=2pi+4pisumn=1^infty(-1)^n(4n^2-1)^2cos(2n t)

Resposta

y(x)=2pi+4pisumn=1^+infty(-1)^n(4n^2-1)^2cos(2n x)

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