Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas: \left\{\begin{array}{r}2 x+3 y+z=0 \\\ 3 x+5 y+4 z=0 \\ x-2 y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver pelo método da Regra de Cramer o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x + 3y + z = 0,\\\\ 3x + 5y + 4z = 0,\\\ x - 2y + z = 0. \end{cases}
Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (denotado por D) e depois os determinantes obtidos ao substituir, em cada coluna, o vetor dos termos independentes.
Passo 2
Calculamos primeiro o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = 2\cdot13 \;-\;3\cdot(-1)\;+\;1\cdot(-11) =26 +3 -11 =18.
Passo 3
Como o sistema é homogêneo, o vetor dos termos independentes é (0,0,0). Ao substituir qualquer coluna pelos zeros, o determinante resultante será zero. Assim:
D_x = D_y = D_z = 0.
Passo 4
Pela Regra de Cramer para sistemas homogêneos com D\neq0, cada incógnita é
x = \frac{D_x}{D} = \frac{0}{18}=0,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{18}=0,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{0}{18}=0.