Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}2 x+3 y+z=0 \\\ 3 x+5 y+4 z=0 \\ x-2 y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método da Regra de Cramer o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x + 3y + z = 0,\\\\ 3x + 5y + 4z = 0,\\\ x - 2y + z = 0. \end{cases}
Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (denotado por D) e depois os determinantes obtidos ao substituir, em cada coluna, o vetor dos termos independentes.

Passo 2

Calculamos primeiro o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 5 & 4\\\\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
D = 2\cdot\begin{vmatrix}5 & 4\\\ -2 & 1\end{vmatrix} - 3\cdot\begin{vmatrix}3 & 4\\\ 1 & 1\end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix}3 & 5\\\ 1 & -2\end{vmatrix}.
Agora, cada menor:
\begin{vmatrix}5 & 4\\\ -2 & 1\end{vmatrix} =5\cdot1 - 4\cdot(-2)=5+8=13,
\begin{vmatrix}3 & 4\\\ 1 & 1\end{vmatrix} =3\cdot1 - 4\cdot1=3-4=-1,
\begin{vmatrix}3 & 5\\\ 1 & -2\end{vmatrix} =3\cdot(-2) - 5\cdot1=-6-5=-11.
Substituindo,
D = 2\cdot13 \;-\;3\cdot(-1)\;+\;1\cdot(-11) =26 +3 -11 =18.

Passo 3

Como o sistema é homogêneo, o vetor dos termos independentes é (0,0,0). Ao substituir qualquer coluna pelos zeros, o determinante resultante será zero. Assim:
D_x = D_y = D_z = 0.

Passo 4

Pela Regra de Cramer para sistemas homogêneos com D\neq0, cada incógnita é
x = \frac{D_x}{D} = \frac{0}{18}=0,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{18}=0,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{0}{18}=0.

Resposta

x=0,\;y=0,\;z=0

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