Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}x+3 y-z=5 \\\ 2 x-y+z=0 \\\ 3 x+2 y-z=6\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando a Regra de Cramer, o sistema
\begin{cases} x + 3y - z = 5,\\\\ 2x - y + z = 0,\\\\ 3x + 2y - z = 6. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares 3\times 3 por determinantes. Vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes em que substituímos cada coluna pelos termos independentes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e calculamos
\Delta = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot\bigl((-1)(-1)-1\cdot2\bigr) -3\cdot\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot3\bigr) +(-1)\cdot\bigl(2\cdot2-(-1)\cdot3\bigr).
Agora avaliamo os menores:
(-1)(-1)-1\cdot2=1-2=-1,\quad 2\cdot(-1)-1\cdot3=-2-3=-5,\quad 2\cdot2-(-1)\cdot3=4+3=7.
Logo
\Delta = 1\cdot(-1)-3\cdot(-5)+(-1)\cdot7=-1+15-7=7.

Passo 3

Calculamos \Delta_x substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (5,0,6):
\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & 3 & -1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 6 & 2 & -1 \end{vmatrix} =5\cdot\bigl((-1)(-1)-1\cdot2\bigr) -3\cdot\bigl(0\cdot(-1)-1\cdot6\bigr) +(-1)\cdot\bigl(0\cdot2-(-1)\cdot6\bigr).
Os menores são:
(-1)(-1)-1\cdot2=1-2=-1,\quad 0\cdot(-1)-1\cdot6=-6,\quad 0\cdot2-(-1)\cdot6=6.
Portanto
\Delta_x=5\cdot(-1)-3\cdot(-6)+(-1)\cdot6=-5+18-6=7.

Passo 4

Calculamos \Delta_y substituindo a segunda coluna por (5,0,6):
\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -1\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 3 & 6 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot\bigl(0\cdot(-1)-1\cdot6\bigr) -5\cdot\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot3\bigr) +(-1)\cdot\bigl(2\cdot6-0\cdot3\bigr).
Os menores são:
0\cdot(-1)-1\cdot6=-6,\quad 2\cdot(-1)-1\cdot3=-2-3=-5,\quad 2\cdot6-0\cdot3=12.
Logo
\Delta_y=1\cdot(-6)-5\cdot(-5)+(-1)\cdot12=-6+25-12=7.

Passo 5

Calculamos \Delta_z substituindo a terceira coluna por (5,0,6):
\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix} =1\cdot\bigl((-1)\cdot6-0\cdot2\bigr) -3\cdot\bigl(2\cdot6-0\cdot3\bigr) +5\cdot\bigl(2\cdot2-(-1)\cdot3\bigr).
Os menores são:
(-1)\cdot6-0\cdot2=-6,\quad 2\cdot6-0\cdot3=12,\quad 2\cdot2-(-1)\cdot3=4+3=7.
Assim
\Delta_z=1\cdot(-6)-3\cdot12+5\cdot7=-6-36+35=-7.

Passo 6

Pela Regra de Cramer,
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{7}{7}=1,\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{7}{7}=1,\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{-7}{7}=-1.

Resposta

x=1,\;y=1,\;z=-1.

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