Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}3 x+2 y=-3 \\\ 3 x-2 y=-7 \\\ 3 y+z=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pela Regra de Cramer, o sistema de três equações lineares em (x,y,z)\): \[\begin{cases} 3x + 2y + 0z = -3,\\\\ 3x - 2y + 0z = -7,\\\\ 0x + 3y + 1z = 2. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é a Regra de Cramer, que diz que se D\] é o determinante da matriz dos coeficientes e \(D_x,D_y,D_z são os determinantes obtidos trocando, respectivamente, cada coluna pelos termos constantes, então
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0\\\\ 3 & -2 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A) = 3\cdot\det\begin{pmatrix}-2&0\\\ 3&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\dots\bigr) =3\bigl(-2\cdot1-0\bigr)-2\bigl(3\cdot1-0\bigr) =-6-6=-12.

Passo 3

Para x, substituímos a primeira coluna por (-3,-7,2):
A_x = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0\\\\ -7 & -2 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
D_x = \det(A_x) =-3\cdot\det\begin{pmatrix}-2&0\\\ 3&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-7&0\\\ 2&1\end{pmatrix} = -3(-2)-2(-7) =6+14=20.
Logo
x = \frac{D_x}{D} = \frac{20}{-12} = -\frac{5}{3}.

Passo 4

Para y, trocamos a segunda coluna por (-3,-7,2):
A_y = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0\\\\ 3 & -7 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
D_y = \det(A_y) =3\cdot\det\begin{pmatrix}-7&0\\\ 2&1\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =3(-7)-(-3)(3) =-21+9=-12.
Logo
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-12}{-12} = 1.

Passo 5

Para z, trocamos a terceira coluna por (-3,-7,2):
A_z = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -3\\\\ 3 & -2 & -7\\\\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}
D_z = \det(A_z) =3\cdot\det\begin{pmatrix}-2&-7\\\ 3&2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3&-7\\\ 0&2\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}3&-2\\\ 0&3\end{pmatrix} =3(-4+21)-2(6)-3(9) =3\cdot17-12-27 =51-39=12.
Logo
z = \frac{D_z}{D} = \frac{12}{-12} = -1.

Resposta

x = -\frac{5}{3},\quad y = 1,\quad z = -1.

Exercícios relacionados