Resolver, pela Regra de Cramer, os sistemas:
\left\{\begin{array}{r}2 x+3 y-z=-3 \\ x+2 z=9 \\\ -x+2 y+z=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
\begin{cases} 2x + 3y - z = -3,\\\ x + 0y + 2z = 9,\\\\ -\,x + 2y + z = -4, \end{cases}
e pede para resolver pela Regra de Cramer. O conteúdo necessário é cálculo de determinantes: montamos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes \mathbf b, calculamos o determinante D=\det(A) e os determinantes D_x,D_y,D_z obtidos substituindo cada coluna de A por \mathbf b, e então aplicamos
x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D},\quad z=\frac{D_z}{D}.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e calculamos
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \det(A).
Pela regra de Sarrus ou desenvolvimento pela primeira linha:
D = 2\cdot\begin{vmatrix}0 & 2\\\ 2 & 1\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 1\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}1 & 0\\\ -1 & 2\end{vmatrix} =2(0-4)-3(1+2)-1(2-0)=-8-9-2=-19.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes \mathbf b =(-3,9,-4)^\mathsf T e calculamos
A_x = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -1\\\\ 9 & 0 & 2\\\\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad D_x = \det(A_x).
Pela expansão na primeira linha:
D_x =-3\cdot\begin{vmatrix}0 & 2\\\ 2 & 1\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}9 & 2\\\ -4 & 1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}9 & 0\\\ -4 & 2\end{vmatrix} =-3(0-4)-3(9+8)-1(18-0)=12-51-18=-57.

Passo 4

Substituímos a segunda coluna por \mathbf b para obter
A_y = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -1\\\\ 1 & 9 & 2\\\\ -1 & -4 & 1 \end{pmatrix}, \quad D_y = \det(A_y).
Expansão pela primeira linha dá
D_y =2\cdot\begin{vmatrix}9 & 2\\\ -4 & 1\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}1 & 9\\\ -1 & -4\end{vmatrix} =2(9+8)+3(1+2)-1(-4+9)=34+9-5=38.

Passo 5

Substituímos a terceira coluna por \mathbf b e calculamos
A_z = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -3\\\\ 1 & 0 & 9\\\\ -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}, \quad D_z = \det(A_z).
Expansão pela primeira linha:
D_z =2\cdot\begin{vmatrix}0 & 9\\\ 2 & -4\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}1 & 9\\\ -1 & -4\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}1 & 0\\\ -1 & 2\end{vmatrix} =2(0-18)-3(-4+9)-3(2-0)=-36-15-6=-57.

Passo 6

Como D=-19\neq0, a Regra de Cramer dá
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-57}{-19}=3,\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{38}{-19}=-2,\quad z=\frac{D_z}{D}=\frac{-57}{-19}=3.

Resposta

(x,y,z)=(3,-2,3).

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