Resolver as seguintes congruencias.
Resolva as seguintes congruências lineares:
23 x equiv 7(bmod 19)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
23x equiv 7 pmod19,
ou seja, encontrar todos os inteiros x que satisfazem essa relação. Para isso, vamos usar álgebra modular e o fato de que, para resolver axequiv bpmodm, basta achar o inverso de a módulo m (se existir) e multiplicar ambos os lados por esse inverso.

Passo 2

Primeiro reduzimos o coeficiente 23 módulo 19:
23 equiv 23 - 19 = 4 pmod19
Logo a congruência fica
4x equiv 7 pmod19

Passo 3

Agora precisamos do inverso de 4 módulo 19, ou seja, um inteiro u tal que
4u equiv 1 pmod19
Usando o algoritmo de Euclides estendido ou teste por tentativa, vemos que
4 times 5 = 20 equiv 1 pmod19,
portanto u=5 é o inverso de 4 módulo 19.

Passo 4

Multiplicamos a congruência 4xequiv7pmod19 por 5:
x equiv 5cdot 7 = 35 pmod19
Reduzindo 35 módulo 19 temos
35 equiv 35 - 19 = 16 pmod19

Resposta

A solução geral é
x equiv 16 pmod19

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