Resolver as seguintes congruencias.
Resolva as seguintes congruências lineares:
3 x equiv 1(bmod 10)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
3x equiv 1 pmod10
O que precisamos usar aqui é a teoria de congruências: primeiro verificar se 3 tem inverso módulo 10 (isto é, gcd(3,10)=1), e depois encontrar esse inverso para “isolar” x.

Passo 2

Calcular gcd(3,10) pelo algoritmo de Euclides. Aplicamos:
10 = 3cdot 3 + 1, 3 = 1cdot 3 + 0
Como o último resto não nulo é 1, temos
gcd(3,10) = 1
Isso garante que 3 é invertível em Z10.

Passo 3

Determinar o inverso de 3 módulo 10. Buscamos um inteiro k tal que
3cdot k equiv 1 pmod10
Testando valores de k (ou usando o passo anterior para “voltar” o algoritmo), encontramos
3cdot 7 = 21 equiv 1 pmod10
Logo, o inverso de 3 em Z10 é 7.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da congruência original por esse inverso 7:
7cdot(3x) equiv 7cdot 1 pmod10 Longrightarrow x equiv 7 pmod10

Resposta

A solução geral da congruência é
x equiv 7 pmod10

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