Resolver as seguintes congruencias.
Resolva as seguintes congruências lineares:
7 x equiv 5(bmod 18)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
7x equiv 5 pmod18
Aqui o conteúdo é congruências lineares: primeiro verificamos se há solução (checando o gcd) e depois, se existir, encontramos o inverso modular de 7 módulo 18.

Passo 2

Calculamos o máximo divisor comum de 7 e 18 pelo algoritmo de Euclides:
18 = 7cdot2 + 4, 7 = 4cdot1 + 3, 4 = 3cdot1 + 1, 3 = 1cdot3 + 0
Daí gcd(7,18)=1. Como o gcd é 1, 7 é invertível módulo 18 e existe solução única em Z18.

Passo 3

Usamos o algoritmo estendido para achar inteiros u,v tais que
7u + 18v = 1
Voltando as etapas:
1 = 4 - 3cdot1, 3 = 7 - 4cdot1, 4 = 18 - 7cdot2
substituindo temos
1 = (18 - 7cdot2)cdot2 - (7 - (18 - 7cdot2)) = 2cdot18 -5cdot7
Logo u=-5, e o inverso de 7 módulo 18 é -5equiv13pmod18.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original por 13:
x equiv 13cdot5 = 65 equiv 65 - 3cdot18 = 65 - 54 = 11 pmod18
Conferindo, 7cdot11 = 77 equiv 5 pmod18, bate com o enunciado.

Resposta

x equiv 11 pmod18

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