Resolver as seguintes EDO’s
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}}{y+1}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{y+1}.
Percebemos que é uma equação separável: podemos colocar todos os termos com y num lado e todos os termos com x no outro para integrar.

Passo 2

Separe variáveis multiplicando ambos os lados por (y+1)\,dx:
(y+1)\,\frac{dy}{dx}\;dx \;=\; x^{2}\,dx
que simplifica para
(y+1)\,dy \;=\; x^{2}\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int (y+1)\,dy \;=\;\int x^{2}\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais de cada membro:
\int (y+1)\,dy = \frac{y^{2}}{2} + y, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Monte a solução implícita reunindo os resultados:
\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + C.

Resposta

\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + C.

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